白话红黑树系列之一——初识红黑树

红黑树是一种二叉查找树，它能保证在最坏的情况下，基本的动态操作的时间为O(lgn)。

1. 红黑树的性质

红黑树是一种二叉查找树，与普通二叉查找树不同之处在于以下几个方面：

a) 红黑树在每一个结点上增加一个域来存储该结点的颜色，颜色可以是红（RED）的或者是黑（BLACK）的。因此树的结点包括5个域：color，key，left，right，和p，而二叉查找树是不包括color域的。（有关二叉查找树结点的定义，请参考之前我写的文章http://blog.csdn.net/arge129/article/details/7559845）。

b) 为了便于处理代码中的边界条件，我们采用一个哨兵来代替二叉查找树中的空指针（或引用）null，这个哨兵nil[T]是一个与树内普通结点有相同域的对象，它的color域是BLACK，而其他的四个域可以被设置为任意值。于是在二叉查找树中，我们本来指向null的地方指向了哨兵对象nil[T]，并且，我们nil[T]为外结点，而带关键字的结点为内结点。为了编程方便，我们使用一个对象来代替所有的哨兵。

c) 一棵二叉查找树如果满足下面的红黑性质，则为一棵红黑树：

1) 每个结点是或是红的，或是黑的。

2) 根结点是黑的。

3) 每个叶结点（nil[T]）是黑的。

4) 如果一个结点是红的，那么它的两个儿子是黑的。

5) 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

这5条看起来相当的难记，曾在博客上看过一位大哥总结的不错，在这里写一下，向这位牛人致敬。首先，对于第一条来说，这个似乎没什么地方可以违反（当然后面讲到删除的时候会讲），所以直接忽略就行了。对于第二条和第三条，可以总结为黑头黒脚；第四条，那就是“坑爹”。。。第五条，我自己总结的，“一个都不能少”，这是黄宏的一个电影，讲的是他有25个孩子，然后不管怎么数，一个都不能少（挺感人的，可以去看下），所以，对应到性质里，那就是黑结点不管从哪条路径上来数，都是相同的。因此上面的5条，我们就合并为3条：

1) 黑头黒脚。

2)坑爹。

3)一个都不能少。

是不是好记多了呢？其实，红黑树的性质可以看作是红黑树的定义，如果不满足该性质（定义），那就不是红黑树了。那么来看一棵实际的红黑树吧，读者可以从下图中来验证以上的5个性质或者说咱们总结的那3条。

那么红黑树的这些性质，又能使红黑树具有哪些神奇的功能呢，请看下面。

2. 关于红黑树性质的研究

1) 首先，来看下黑高度的定义。红黑树中某一个结点x的黑高度定义为，从x结点出发（不包括该结点）到达一个叶结点的任意一条路径上，黑色结点的个数称为x结点的黑高度。由“一个都不能少”的性质，我们可以知道，黑高度的定义是明确的，因为从该结点出发的所有下降路径都有相同的黑结点个数。红黑树的黑高度定义为其根结点的黑高度。

2) 一棵有n个内结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。根据“坑爹”这个性质，从根（不包括根结点）到叶结点的任一条简单路径上至少有一半结点是黑色的。两种极端情况为，一种是树中全是黑结点，一种是红黑结点交替出现。假如红结点在某条路径上的个数超过一半，则必然出现两个连续的红结点的情况，而这与”坑爹“性质矛盾，因此不可能出现红结点在某条路径上超过一半的情况。因此红黑树也确保了没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。具体的证明参考下算法导论吧，这里写一些证明也没多大意义。根据这个性质，我们可以说，基于红黑树的一些操作可以在O(lgn)时间内完成。

3.代码实现（Java）

本篇主要讨论了红黑树的基本性质，因此在此仅给出Java版本的结点定义，关于红黑树的其他操作，后序博客来完成。谢谢关注。(*^__^*) 

 

/**
 * 结点颜色
 * @author Alfred
 */
public enum NodeColor {
    RED, BLACK
}

/**
 * 红黑树结点定义
 * @author Alfred
 */
public class RBTreeNode {
    private int key;
    private NodeColor color;
    private RBTreeNode parent;
    private RBTreeNode left;
    private RBTreeNode right;
    public RBTreeNode(int key, NodeColor nodeColor){
        this.key = key;
        this.color = nodeColor;
    }
    public String toString(){
        return ""+key+":"+color+"  ";
    }
    /**
     * @return the key
     */
    public int getKey() {
        return key;
    }
    /**
     * @param key the key to set
     */
    public void setKey(int key) {
        this.key = key;
    }
    /**
     * @return the color
     */
    public NodeColor getColor() {
        return color;
    }
    /**
     * @param color the color to set
     */
    public void setColor(NodeColor color) {
        this.color = color;
    }
    /**
     * @return the parent
     */
    public RBTreeNode getParent() {
        return parent;
    }
    /**
     * @param parent the parent to set
     */
    public void setParent(RBTreeNode parent) {
        this.parent = parent;
    }
    /**
     * @return the left
     */
    public RBTreeNode getLeft() {
        return left;
    }
    /**
     * @param left the left to set
     */
    public void setLeft(RBTreeNode left) {
        this.left = left;
    }
    /**
     * @return the right
     */
    public RBTreeNode getRight() {
        return right;
    }
    /**
     * @param right the right to set
     */
    public void setRight(RBTreeNode right) {
        this.right = right;
    }
}