白话红黑树系列之二——红黑树的构建

　　上一篇写了关于红黑树基本性质的东西，这篇来说一说如何创建一棵红黑树吧。

　　如果对红黑树的基本性质还有疑问，请先查看一下我的前一篇：http://www.cnblogs.com/unpolishedgem/archive/2012/05/16/2504311.html。

　　如果图片打不开的话，就去看我的csdn博客：http://blog.csdn.net/arge129。

　　红黑树是一种二叉查找树，那么我们可以使用插入的方法来创建一棵红黑树，为此，我们先来介绍关于红黑树的一些基本操作。

　　1. 旋转

　　旋转是一种能保持二叉查找树性质的查找树局部操作，包括左旋和右旋两种操作。

　　如下图所示，在x结点上做左旋时，我们假设它的右孩子不是nil[T]；x可以是树内任意右孩子不是nil[T]的结点。算法导论里面讲到“左旋以x到y之间的链为支轴进行。”我没太理解这句话，但是我是这么想象的，如下图中的曲线箭头所示，左旋就是x下移，y上移，箭头所示方向为左，右旋就是x上移，y下移，箭头所示方向为右。

 

　　值得注意的是，在旋转过程中，只会有指针结构的变化，不会有颜色的变化，因此在上面的图中，我没有画出结点的颜色。

旋转的伪代码，我就不写了，在算法导论里面都有，下面我把我写的旋转代码给贴过来吧，当然还是Java版的。

/**
     * 左旋
     * @author Alfred
     * @param x 输入结点
     */
    private void leftRotated(RBTreeNode x){
        RBTreeNode y = x.getRight();
        //x的右孩子y不能是NIL_T，如果是的话，直接返回。
        if(y == NIL_T){
            return;
        }
        //将y的左子树变为x的右子树
        //设置x的右子树
        x.setRight(y.getLeft());
        //设置y的右子树的父结点为x
        if(y.getLeft() != NIL_T){
            y.getLeft().setParent(x);
        }
        //将x的父结点设置为y的父结点
        y.setParent(x.getParent());
        //如果x是根结点，则更换根结点
        if(x.getParent() == NIL_T){
            rootNode = y;
        }else if(x == x.getParent().getLeft()){
            //如果x是其父结点的左孩子，则将y设为其父结点的左孩子
            x.getParent().setLeft(y);
        }else{
            //如果x是其父结点的右孩子，则将y设为其父结点的右孩子
            x.getParent().setRight(y);
        }
        //y的左孩子为x
        y.setLeft(x);
        //x的父结点为y
        x.setParent(y);
    }
    /**
     * 右旋
     * @author Alfred
     * @param y 输入结点
     */
    private void rightRotated(RBTreeNode y){
        RBTreeNode x = y.getLeft();
        //y的左孩子x不能是NIL_T，如果是的话，直接返回。
        if(x == NIL_T){
            return;
        }
        //将x的右子树变为y的左子树
        //设置y的左子树
        y.setLeft(x.getRight());
        //设置x的右子树的父结点为y
        if(x.getRight() != NIL_T){
            x.getRight().setParent(y);
        }
        //将y的父结点设置为x的父结点
        x.setParent(y.getParent());
        //如果y是根结点，则更换根结点
        if(y.getParent() == NIL_T){
            rootNode = x;
        }else if(y == y.getParent().getLeft()){
            //如果y是其父结点的左孩子，则将x设为其父结点的左孩子
            y.getParent().setLeft(x);
        }else{
            //如果y是其父结点的右孩子，则将x设为其父结点的右孩子
            y.getParent().setRight(x);
        }
        //x的右孩子为y
        x.setRight(y);
        //y的父结点为x
        y.setParent(x);
    }

　　2. 插入

　　既然红黑树是一棵二叉查找树，那么我们就可以像二叉查找树那样为红黑树插入一个元素。我们将二叉查找树的插入算法做一个略微的修改，我们将结点z插入到树中，就像树T是一棵普通的二叉查找树一样，然后将z着为红色，为保持红黑树的性质，我们需要对树中的结点进行重新着色并旋转。如果对二叉查找树的插入操作不熟悉，请阅读我之前写过的博客：http://www.cnblogs.com/unpolishedgem/archive/2012/05/10/2494403.html。

　　我们来分析一下，在插入过程中可能违反的性质有哪几个。为此，我把红黑树的性质再抄写一次。

　　一棵二叉查找树如果满足下面的红黑性质，则为一棵红黑树：

　　1) 每个结点是或是红的，或是黑的。

　　2) 根结点是黑的。

　　3) 每个叶结点（nil[T]）是黑的。

　　4) 如果一个结点是红的，那么它的两个儿子是黑的。

　　5) 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

　　首先，我们插入的结点是红色的，因此不会违反性质1)和性质5)，性质3)自然成立。唯一可能被破坏的是2)和4)。而且，2)和4)至多有一个性质被破坏。性质2)被破坏时的修复很简单，只需要将根结点重新着色为黑色即可。而性质4)被破坏的修复则要复杂一些，具体分为三种请况。

　　情况1)：z的叔叔y是红色的。

　　如下图所示，如果z的叔叔y是红色的，将z的父结点和y着色为黑色，然后将z的祖父结点着色为红色，最后将z的祖父结点作为新的z结点进行迭代检查，因为z的祖父结点原来是红色的，被着色为黑色的时候，有可能会引起红黑树性质的破坏。

 

　　情况2)：z的叔叔y是黑色的，而且z是右孩子。

　　情况3)：z的叔叔y是黑色的，而且z是左孩子。

　　如下图所示，如果是情况2)，我们可以立即使用一个左旋变成情况3)。情况3)中，首先交换了B和C的颜色，然后通过一个右旋来使整个树达到了满足性质4)。

　　从这三种情况来看，可以发现一个非常有趣的事情，那就是该过程所做的旋转从不超过两次，因为只有情况1)会继续将z上移进行红黑性质检查，而一旦进入了情况2)或者情况3)，就不会再进行检查了。

　　同样，伪代码就不写了，算法导论上都有，在此只写Java实现代码。

/**
     * 插入操作
     * @author Alfred
     * @param k
     */
    public void treeInsert(int k){
        RBTreeNode z = new RBTreeNode(k, NodeColor.RED);
        RBTreeNode y = NIL_T;
        RBTreeNode x = rootNode;
        //与二叉查找树的插入过程类似
        while(x != NIL_T){
            y = x;
            if(z.getKey() < x.getKey()){
                x = x.getLeft();
            }else{
                x = x.getRight();
            }
        }
        z.setParent(y);
        if(y == NIL_T){
            rootNode = z;
        }else if(z.getKey() < y.getKey()){
            y.setLeft(z);
        }else{
            y.setRight(z);
        }
        z.setLeft(NIL_T);
        z.setRight(NIL_T);
        //进行修复
        rbInsertFixUp(z);
    }
    /**
     * 修复插入操作引起的不满足的红黑性质
     * @author Alfred
     * @param z 要修复的结点
     */
    private void rbInsertFixUp(RBTreeNode z){
        RBTreeNode y = null;
        while(z.getParent().getColor() == NodeColor.RED){
            //如果z的父结点是z的祖父结点的左孩子
            if(z.getParent() == z.getParent().getParent().getLeft()){
                y = z.getParent().getParent().getRight();
                //情况1)，z的叔叔y的颜色是红色的。
                if(y.getColor() == NodeColor.RED){
                    z.getParent().setColor(NodeColor.BLACK);
                    y.setColor(NodeColor.BLACK);
                    z.getParent().getParent().setColor(NodeColor.RED);
                    z = z.getParent().getParent();
                }else if(z == z.getParent().getRight()){
                    //情况2),z的叔叔y的颜色是黑色的，且z是其父结点的右孩子
                    z = z.getParent();
                    leftRotated(z);
                    //情况2)经过左旋之后变为情况3),z的叔叔y的颜色是黑色的，且z是其父结点的左孩子
                    z.getParent().setColor(NodeColor.BLACK);
                    z.getParent().getParent().setColor(NodeColor.RED);
                    rightRotated(z.getParent().getParent());
                }
            }else{
                //与上面情况类似。
                y = z.getParent().getParent().getLeft();
                if(y.getColor() == NodeColor.RED){
                    z.getParent().setColor(NodeColor.BLACK);
                    y.setColor(NodeColor.BLACK);
                    z.getParent().getParent().setColor(NodeColor.RED);
                    z = z.getParent().getParent();
                }else if(z == z.getParent().getLeft()){
                    z = z.getParent();
                    rightRotated(z);
                    z.getParent().setColor(NodeColor.BLACK);
                    z.getParent().getParent().setColor(NodeColor.RED);
                    leftRotated(z.getParent().getParent());
                }
                
            }
        }
        //修复性质2)
        rootNode.setColor(NodeColor.BLACK);
    }

ps：写博客很累，转载的朋友请注明出处，谢谢。