汇思学 18国庆 图论

　　　　　　图论

1.基本概念

　　

　　

  　　

2.图的储存

　　

3.路径

　　

4.自由树

　　

5.有根树和二叉树

　　

6.图的遍历

　　

7.连通

　　

8.拓扑排序

　　

9.欧拉路径

　　

10.最短路

　　

　　（1）Dijkstra

　　

void dijkstra(int x) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = a[x][i];
    dis[x] = 1; f[x] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        minn = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (f[j] == 0 && dis[j] > minn) {
                k = j;
                minn = dis[j];
            }
        f[k] = 1;
        if (k == y) break;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if(f[j] == 0 && dis[k] * a[k][j] > dis[j])
                dis[j] = dis[k] * a[k][j];
    }
}

　　（2）Bellman-Ford

　　　　不断在最短路中加边

　　　　时间复杂度：O(VE)

for (int i = n; i; --i)
    for (int j = n; j; --j)
        dis[v[j]] = min(dis[v[j]], dis[u[j]] + w[j]);

　　（3）Folyd

　　　　可以看作DP，同时求出每点对间的最短路

　　　　时间复杂度：O(n³)

for (int k = 1; k <= n; ++k)
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);

　　（4）SPFA

　　　　虽然老师没讲，但我平常都写这个。。。

void spfa(int x) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        dis[i] = MAXN, vis[i] = 0;
    dis[x] = 0; vis[x] = 1; q.push(x);
    while (!q.empty()) {
        int y = q.front(); q.pop(); vis[y] = 0;
        for (int i = head[y]; i; i = net[i]) {
            int t = to[i];
            if (dis[t] > dis[y] + cap[i]) {
                dis[t] = dis[y] + cap[i];
                if (!vis[t]) vis[t] = 1, q.push(t);
            }
        }
    }
}

　　（5）Johnson重赋权

　　

　　（6）应用：差分约束系统

　　

11.强连通分量

　　

12.边双连通分量

　　

13.点双连通分量

　　

14.最小生成树MST

　　（1）MST基本定理

　　

　　（2）MST求解方法

　　

//其他两个不会写qwq
//这是kruskal
struct nond {
    int u, v, w;
}e[M];

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

bool cmp(nond x, nond y) {
    return x.w < y.w;
}

void kruskal() {
    sort(e+1, e+k+1, cmp);
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        int x = find(e[i].u), y = find(e[i].v);
        if (x == y) continue;
        fa[x] = y;
        ++tot;
        sum += e[i].w;
        if (tot == n - 1) break;
    }
    return ;
}

　　（3）MST的性质

　　

15.最近公共祖先 LCA

　　（1）定义 给定两点 u 和 v ，lca( u, v ) 即为两点所有公共祖先中深度最深的一个

　　（2）求法