设函数 (f(x))在定义域上为凸函数，即对于定义域内任意(x_1,x_2), 满足(kf(x_1)+(1-k)f(x_2)≥f(kx_1+(1-k)x_2))，其中 ( 0 le k le 1) 。对于这样的凸函数 (f(x))，满足( sum_{i=1}^np_if(x_i)≥f(sum_{i=1}^np_ix_i))，其中(sum_{i=1}^np_i=1,p_i≥0,x_i)在定义域上 (i = 1, 2, 3, cdots, n) 。
证明：令(sum_{i=1}^np_ix_i=A)，显然(A)在函数 (f(x))的定义域内。
$sum_{i=1}^n p_i f(x_i)-f(A)= sum_{i=1}^n p_i [f(x_i)-f(A)]=sum_{i=1}^n p_i int_A^{x_i} f' (x) dx$ ①
因为 (f'(x)) 为增函数，所以若 ( A le x_i )) ,则有(int_A^{x_i}f'(x)dx≥f(A)(x_i-A))，同理若( A > x_i )，有(int_A^{x_i}f'(x)dx≥f(A)(x_i-A))，
所以
①$lesum_{i=1}^n p_i f'(A) (x_i-A) = f'(A)[sum_{i=1}^n p_i (x_i-A)]=f'(A)(A-A)=0$
得证