由定义，(e=lim_{n→+∞}(1+frac{1}{n})^n)
((1+frac{1}{n})^n=C^0_n+frac{C^1_n}{n}+frac{C^2_n}{n^2}+.....+frac{C^n_n}{n^n})
(=1+frac{n}{n*1!}+frac{n(n-1)}{n^2*2!}+.....+frac{n(n-1)(n-2).....1}{n^n*n!})
由于n趋于正无穷，所以((1+frac{1}{n})^n=1+frac{1}{1!}+frac{1}{2!}+......)
即(e=1+frac{1}{1!}+frac{1}{2!}+......)
设e=a/b，其中a、b为正整数，即(a=1+frac{1}{1!}+frac{1}{2!}+......)
所以(a(b-1)!=b!+frac{b!}{1!}+frac{b!}{2!}+frac{b!}{3!}+.....+frac{b!}{b!}+frac{b!}{(b+1)!}+frac{b!}{(b+2)!}+.....)
(=b!+b(b-1)(b-2).....2+b(b-1)(b-2).....3+.....b(b-1)(b-2)+b(b-1)+b+frac{1}{b+1}+frac{1}{(b+1)(b+2)}.....)
显然等式左边a(b-1)!为正整数，等式右边b!+b(b-1)(b-2).....2+b(b-1)(b-2).....3+.....b(b-1)(b-2)+b(b-1)+b为正整数，但(frac{1}{b+1}+frac{1}{(b+1)(b+2)}.....)为分数，所以等式右边不为正整数，矛盾。所以e不为有理数。