设数列({x_n})满足a≤(x_n)≤b，将区间[a,b]二等分，用([a_1,b_1])表示含有({x_n})中无穷多项的一半区间（若两个半区间均含有({x_n})中的无穷多项，则任取其中一部分作为([a_1,b_1])），并取(x_{n_1}∈[a_1,b_1])。再将([a_1,b_1])二等分，用([a_2,b_2])表示含有({x_n})中无穷多项的一半区间，并取(x_{n_2}∈[a_2,b_2]，n_1＜n_2)。如此继续下去，可得到({x_n})的一个子数列({x_{n_k}})，满足
(x_{n_k}∈[a_k,b_k])，
且闭区间
([a_1,b_1]⊆[a_2,b_2]⊆......，0≤lim_{n→∞}(b_n-a_n)≤lim_{n→∞}frac{b-a}{2^n})
由闭区间套定理，存在唯一常数c，使得
(lim_{n→∞}a_n=lim_{n→∞}b_n=c)
由于(a_k≤x_{n_k}≤b_k)，由夹挤定理，(lim_{n→∞}x_{n_k}=c)