首先引入Fermat引理：设函数f(x)在点(x_0的某个邻域N(x_0,δ)中有定义，在点x_0可导，且有)
$f(x)≤f(x_0)(或f(x)≥f(x_0)),x∈N(x_0,δ)$
则(f'(x_0)=0)
Rolle中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)使得(f'(ξ)=0)
证明：由于f(x)在[a,b]上连续，则由最值定理可知必有(x_1,x_2∈[a,b]，使得f(x_1),f(x_2)分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。)
如果(x_1,x_2)恰为端点，则f(x)≡f(a)，此时ξ可以任取。
否则(x_1,x_2)中至少有一个在(a,b)内，就记为ξ，于是ξ满足Fermat引理中(x_0的条件，即f'(ξ)=0)
Lagrande中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)使得(f'(ξ)=frac{f(b)-f(a)}{b-a})
证明：令(F(x)=f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a))，a≤x≤b
由连续函数的四则运算，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且F(a)=F(b)=0，由Rolle中值定理，则存在ξ∈(a,b)使得(F'(ξ)=0)，即
$f'(ξ)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$