【CodeForces】#694 D. Strange Definition

CodeForces #694 D. Strange Definition

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题意

定义数字 (x) 和 (y) 是“相邻”的当且仅当 (frac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}) 是一个平方数。

给定一个长度为 (n) 的数组 (a)。

每过一秒，数组 (a) 会发生变化：(a_i) 会变成数组 (a) 中与其“相邻”的所有数字的乘积。

定义 (d_i) 为数组 (a) 中与 (a_i) “相邻” 的数字个数。

定义数组 (a) 的美丽值为 (max_{1leq i leq n }d_i)

给出 (q) 个询问，每次询问给出当前时间 (w)，问当前数组 (a) 的美丽值。

思路

(w) 的范围这么大，考虑 (a) 数组可能变化有限次后，答案不再发生变化。

先考虑如何求美丽值。

题目中对于“相邻”的定义可以简化：

[frac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)} =frac{frac{x imes y}{gcd(x,y)}}{gcd(x,y)}=frac{x imes y}{gcd(x,y) imes gcd(x,y)} ]

显然只要 (x imes y) 是平方数，它俩就“相邻”。

如果(x imes y)是平方数，就要求 (x) 和 (y) 对应质因子的幂次奇偶性相同。

此时分别将 (x,y) 中偶数次幂的质因子删除掉，保留奇数次幂的质因子。

如果 (x = y)，(x imes y) 是平方数，否则不是。

经过上述处理的数组 (a) 中，出现次数最多的数字的出现次数就是数组 (a) 的美丽值。

再看 (a) 发生变化对于其美丽值的影响。

前面说过只有 (x=y) 的时候，(x imes y)才是平方数

那么 (a) 数组发生变化时，(a_i) 变成了 ({a_i}^{d_i})；

同样变化之后，对于 (a_i) 只保留奇数次幂的质因子。

如果 (d_i) 是偶数，(a_i) 就变成了 (1)，否则还是 (a_i)。

如果又过了一秒，那么此时能变成 (1) 的 (a_i) 已经变成 (1) 了，不能变的还是不能变。

可知：变化 (1) 次和变化多次的答案是一样的。

因为只会有不是 (1) 的变成 (1)；

只需判断变化后 (1) 的数量是否大于没变化之前的答案，二者输出较大值。

变化后 (1) 的数量为：

没变化之前出现次数为偶数的非 (1) 的数字+原本 (1) 的出现次数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const ll mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const ll inf = 0x3f3f3f3f;
const ll N = 1e6 + 10;

int arr[N], sign[N];
int vis[N], pri[N], tot;
void solve(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) {
            sign[i] = 1;
            pri[++tot] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= tot; j++) {
            if (i * pri[j] > n)
                break;
            vis[i * pri[j]] = pri[j]; //纪录最小的素因子
            if (i % pri[j] == 0)
                break;
        }
    }
}
int sum[N];
vector<int> vec;
int main()
{
    solve(1000000);//欧拉筛
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        vec.clear();
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int ans0 = 0, ans1 = 0;//ans0 表示出现此处最多的数字的出现次数
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &arr[i]);
            int tmp = 1, j = 1;
            while (arr[i] >= pri[j]) {//只保留奇数次幂质因子
                int num = 0;
                while (arr[i] % pri[j] == 0) {
                    num++;
                    arr[i] /= pri[j];
                }
                if (num % 2)
                    tmp *= pri[j];
                j++;
                if (sign[arr[i]]) {
                    tmp *= arr[i];
                    break;
                }
            }
            vec.pb(tmp);
            ans0 = max(ans0, ++sum[tmp]); 
        }
        int even = 0;
        for (int v : vec) {
            if (v != 1) {
                if (sum[v] % 2 == 0)//未变化时出现次数为偶数且非 1 的数字数量
                    even++;
            } else {
                ans1++;//未变化时 1 的数量
            }
        }
        for (int v : vec) {
            sum[v] = 0;
        }
        int q;
        scanf("%d", &q);
        while (q--) {
            ll w;
            scanf("%lld", &w);
            if (w == 0) {
                printf("%d
", ans0);
            } else {
                printf("%d
", max(ans0, ans1 + even));
            }
        }
    }
    return 0;
}