二项式定理
内容
- ((x+y)^n=sum_{k=0}^n C{_n^k} x^k y^{n-k} = sum_{k=0}^n C{_n^k} x^{n-k} y^k)
证明方法1
- ((x+y)^n=x(x+y)^{n-1}+{cdots}=xy(x+y)^{n-2}+{cdots}=xyx(x+y)^{n-3}+{cdots}={cdots})
- 由上可知 对于每个 (x) 都有一条相乘的路径
- 如果选择 (k) 个 (x) 那么就会选择 (n-k) 个 (y)
- 那么我们可以得到式子 (x^ky^{n-k})
- 对于每个组成的 (x^ky^{n-k})
- 都可以是 在 (n) 个 (x) 中选择 (k) 个 (x)
- 那么 (x^ky^{n-k}) 的 个数 ( 即系数 ) 为 (C{_n^k})
- 综上 ((x+y)^n=sum_{k=0}^n C{_n^k} x^k y^{n-k})
证明方法2
- 考虑用数学归纳法。
- 当
时，则 
- 假设二项展开式在
时成立。 - 设
，则有：
，（将a、b<乘入）
，（取出 
的项）
，（设 
）
，（ 取出 
项）
，（两者相加）
,（套用帕斯卡法则）
推论1
- 证明 (C^0_n+C^1_n+C^2_n+{cdots}+C^k_n+{cdots}+C^n_n=2^n)
- 令 (x=y=1)
- 由二项式定理得 ((1+1)^n=sum_{k=0}^n C{_n^k} 1^k 1^{n-k}=sum_{k=0}^n C{_n^k})
- 即 (C^0_n+C^1_n+C^2_n+{cdots}+C^k_n+{cdots}+C^n_n=2^n) 证毕
推论2
- 证明 (C^0_n+C^2_n+C^4_n+{cdots}+C^k_n+{cdots}=C^1_n+C^3_n+C^5_n+{cdots}+C^k_n+{cdots})
- 令 (x=-1,y=1)
- 由二项式定理得 ((0)^n=C^0_n-C^1_n+C^2_n-C^3_n+C^4_n-{cdots}+C^k_n+{cdots}+C^n_n=0)
- 移项得 (C^0_n+C^2_n+C^4_n+{cdots}+C^k_n+{cdots}=C^1_n+C^3_n+C^5_n+{cdots}+C^k_n+{cdots}) 证毕