Codeforces Round #374 (Div. 2) D. Maxim and Array

题目链接 ：http://codeforces.com/contest/721/problem/D

题目大意：给出n个整数,最多进行k次操作,每次选择一个整数让它+x或者-x,要让最后所有数的乘积最小。

题解：

这题网络上的题解包括官方题解 的证明感觉都是有点问题,只说了每次取最优,但是没说这样可以保证最终答案是最优的。所以我自己来胡扯一个。。

1.先来考虑一个简化版： 所有数都是正整数,每次只能+x,让最后乘积最大。  贪心策略是每次选择最小的那个数使它+x。 证明：可以把a+x的结果看成是原来的乘积prod再乘上一个数$frac{a+x}{a}=1+frac{x}{a}$  显然a越小越优，且可以保证全局最优。

2.再来看这道题。如果一开始所有数的乘积已经是负数,那么只要绝对值最大，显然不必改变每个数的符号,就转化为上面的问题了。

如果一开始的乘积是正数或者0,我们要想办法把它变成负的。只要把一个正数减小成负的 或者把一个正数增大成正的就好。 可以证明最优方案最多改变一个数的符号。 (假设a,b,c都改变了符号,而 假设b由负变正加了k1个x,c由正变负减了k2个x,实际上如果只改变a的符号,而让b减去k1个x,c加上k2个x 更加优。)

下面证明 改变绝对值最小的那个数的符号是最优的。假设绝对值最小的是a，现在如果我们改变b的符号,b的绝对值比a小。 如果所需的步数一样,那么改变符号后a的绝对值更大,所以改变a更加优。如果改变b的符号所需要的步数比a多,设改变a所需k1步,改变b所需k2步,k2>k1.     如果对a也做k2次操作,会更加优（见我的草稿）

一个超级简单的实现代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <set>
using namespace std;

#define X first
#define Y second
#define Mod 1000000007
#define N 200010
#define M 200010
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;

int n,k,x;
ll a[N];
set< pair<ll,int> > st;

int main()
{
    //freopen("in.in","r",stdin);
    //freopen("out.out","w",stdout);
    
    int op=1,pos; ll val;
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&x);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%I64d",&a[i]);
        if (a[i]<0) op=-op;
        st.insert(make_pair(abs(a[i]),i));
    }
    while (k--)
    {
        pos=st.begin()->Y;
        val=st.begin()->X;
        if (a[pos]<0) op=-op;
        if (op==-1) a[pos]+=x;
        else a[pos]-=x;
        st.erase(st.begin());
        st.insert(make_pair(abs(a[pos]),pos));
        if (a[pos]<0) op=-op;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%I64d ",a[i]);
    printf("
");
    return 0;
}