calculate the f(n) . (3<=n<=1000000)
f(n)= Gcd(3)+Gcd(4)+…+Gcd(i)+…+Gcd(n).
Gcd(n)=gcd(C[n][1],C[n][2],……,C[n][n-1])
C[n][k] means the number of way to choose k things from n some things.
网络上有这个题的题解,但是都是说打表找规律,没有给出规律的证明。昨天睡前yy了一下,给个证明：
首先规律是:
1.Gcd(n)=1 如果n至少有2个不同的质因子；
2.Gcd(n)=p 如果$n=p^k$
先来证明第2条：
$Gcd(p^k)=p$
首先$C[n][1]=n=p^k$
那么最大公约数只能是$p^r (r<=k)$
考虑第i个组合数$C[n][i]=frac{p^k*(p^k-1)*(p^k-2)cdots*(p^k-i+1)}{i!}$
$p^r | (p^k-i) $等价于$p^r | i $
所以$frac{p^k*(p^k-1)*(p^k-2)cdots*(p^k-i+1)}{i!}$ 里面因子p的个数和$frac{p^k*1*2*3cdots*(i-1)}{i!}$是一样的。
$frac{p^k*1*2*3cdots*(i-1)}{i!}$约分一下就变成$frac{p^k}{i}$ $(1<=i<=p^k-1)$
当$i=p^{k-1}$的时候, $frac{p^k}{i}$ 里面p的个数最少,只有1个, 因此$Gcd(p^k)=p$
根据上面的思想可以证明第1条：
设 $n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}cdots p_k^{alpha_k}$
考虑任意一个质因子$p_j$
第i个组合数$C[n][i]=frac{n*(n-1)*(n-2)cdots*(n-i+1)}{i!}$
根据上面的推导 $p_j$在第i个组合数出现的次数为$frac{n}{i}$ 中$p_j$出现的次数。
当$i=frac{n}{p_s} (s eq j)$的时候,$frac{n}{i}$ 中$p_j$出现的次数为0.
因此不论考虑哪一个质因子,总有某个组合数不是它的倍数,所以$Gcd(p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}cdots p_k^{alpha_k})=1$