背包问题
应用场景
给定 $n$ 种物品和一个背包。物品 $i$ 的重量是 $w_i$ ，其价值为 $v_i$ ，背包的容量为C。应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包的总价值最大？
*01 背包
*01 背包特点：
给定 $n$ 种物品和一个背包 ( 每个物品只能选取一个)。物品$i$ 的重量是$w[i]$，其价值为$v[i]$，背包的容量为C。应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？
*状态：
$dp[i][j]$ 表示在只能从 $1-i$ 个物品中选择物品并且背包容量大小为 $j$ 的情况下，所能获得的最大价值。
*限制条件
• 只能选择物品 1 ~ i
• 选择物品的总重量不能超过 $j$
*状态转移方程：
$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])$;
*实现：
1）初始化：
1 int n,m; //n表示物品个数，m表示背包容量 2 for (int i = 0 ;i<= m ;i++) 3 dp[0][i] = 0;
2）-1二维数组实现：
1 for (int i = 1;i <= n ;i++){ 2 for (int j = 0 ;j<=m ;j++){ 3 dp[i][j] = dp[i-1][j]; 4 if (j-w[i]>=0) 5 dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]); 6 } 7 }
2）-2一维数组实现
1 for (int i = 1;i <= n ;i++){ 2 for (int j = m ;j>=0 ;j--){ 3 if (j-w[i]>=0) 4 dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 5 } 6 }
*完全背包
*完全背包特点
给定 $n$ 种物品和一个背包 ( 每个物品选取无限个)。物品 $i$ 的重量是 $w[i]$,其价值为$v[i]$，背包的容量为$C$。应该如何选择装入背包的物品，是的装入背包中物品的总价值最大？
*状态
$dp[i][j]$ 表示在只能从 $1-i$ 个物品中选择物品并且背包容量大小为 $j$ 的情况下，所能获得的最大价值。
*限制条件
• 只能选择物品 1 ~ i
• 选择物品的总重量不能超过 j
*状态转移方程
$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])$;
*实现
1）初始化
1 int n,m; //n表示物品个数，m表示背包容量 2 for (int i = 0 ;i<= m ;i++) 3 dp[0][i] = 0;
2）-1二维数组实现
1 for (int i =1;i <= n;i++){ 2 for (int j = 0;j <= m;j++){ 3 dp[i][j]=dp[i-1][j]; 4 if (w[i]<=j) 5 dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]); 6 } 7 }
2）-2一维数组实现
1 for (int i =1;i <= n;i++){ 2 for (int j = 0;j <= m;j++){ 3 if (d-w[i]>=0) 4 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 5 } 6 }
*多重背包
*多重背包特点
给定 $n$ 种物品和一个背包 ( 每个物品选取有限个)。物品 $i$ 的重量是 $w[i]$ ，其价值为$v[i]$，每个物品可以取$k[i]$个，背包的容量为C。应该如何选择装入背包中的物品使得装入背包中的物品总价值最大？
*状态
$dp[i][j]$ 表示在只能从 $1-i$ 个物品中选择物品并且背包容量大小为 $j$ 的情况下，所能获得的最大价值
*限制条件
• 只能选择物品 1 ~ i
• 选择物品的总重量不能超过 j
*状态转移
$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j-w[i]*2] + v[i]*2,...)$
*实现
1）初始化
2）-1二维数组实现
1 for (int i = 1;i <= n ;i++){ 2 for (int j = 0 ;j<=m ;j++){ 3 dp[i][j] = dp[i-1][j]; 4 for (int z = 1 ; z<=k[i]; z++) 5 if (j-w[i]*z>=0) 6 dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-z*w[i]]+z*v[i]); 7 else 8 break; 9 } 10 }
2）-2一维数组实现
1 for (int i = 1;i <= n ;i++){ 2 for (int j = m ;j>=0 ;j--){ 3 for (int z = 1; z<=k[i] ;z++) 4 if (j-w[i]*z>=0) 5 dp[j] = max(dp[j],dp[j-z*w[i]]+z*v[i]); 6 else 7 break; 8 } 9 }
*多重背包问题转化为 01 背包问题
1. p 以下的数字可否由若干不同数字通过组合得到
(a) $2^n$- 1 $n$ == 7 二进制: 111111 000001、000010、000100、001000、010000、100000
(b) $k$ + $2^n$ -1 < $2^{n+1}$ -1 $n$ == 7
• $2^n$ -1 及以下的数字可以由以下数字表示 000001、000010、000100、001000、010000、100000
• 大于 $2^n$ -1 的数字 $k$ 加上以上 7 个数字组成的数字可以表示任何大于$2^n$ - 1小于等于k+$2^n$-1的数字
2. 代码实现
1 //num[i] 表示第i种硬币可以取多少次 2 //w[j] 表示转后为01背包后 只能取一次的硬币的价值与重量 3 int totlW = 0; 4 memset(w,0,sizeof w); 5 for (int i = 0 ;i< 6; i ++){ 6 for(int j=1; j<=num[i]; j<<=1){ 7 w[totlW++]=j*(i+1); 8 num[i]-=j; 9 } 10 if(num[i]>0) 11 w[totlW++]=num[i]*(i+1); 12 }
背包问题
HDU 2602
POJ 2063
POJ 1787
UVA 674
UVA 147
第一题是01背包的板子题，就直接放代码了：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 #include <cmath> 5 #include <cstring> 6 using namespace std; 7 int t; 8 int n,m; 9 int val[10000],w[10000],f[100000]; 10 int main () 11 { 12 scanf ("%d",&t); 13 while (t--) 14 { 15 scanf ("%d%d",&n,&m); 16 memset(f,0,sizeof(f)); 17 for (int i = 1;i <= n;i++) 18 scanf ("%d",&val[i]); 19 for (int i = 1;i <= n;i++) 20 scanf ("%d",&w[i]); 21 for (int i = 1;i <= n;i++) 22 for (int j = m;j >= w[i];j--) 23 f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+val[i]); 24 printf ("%d ",f[m]); 25 } 26 return 0; 27 }
第二道题是完全背包，因为每个债券都是1000的倍数，所以我们可以直接把总钱数和债券的数额都直接除以1000.因为每年都会有利息，所以每年的总钱数会增加，求出每一年的最大利益，总钱数加上最大利益就是下一年的总钱数。所以，我们只需要对于每一年的总钱数求一个完全背包，每年更新总钱数就好。代码如下：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 #include <cmath> 5 #include <cstring> 6 using namespace std; 7 const int N = 100100; 8 int dp[N]; 9 int num[N], val[N]; 10 int main() 11 { 12 int t; 13 scanf("%d", &t); 14 while(t--) 15 { 16 int money,year,d; 17 scanf("%d %d", &money, &year); 18 scanf("%d", &d); 19 for(int i=0;i<d;i++) 20 { 21 scanf("%d %d", &num[i], &val[i]); 22 num[i]/=1000; 23 } 24 int sum=money; 25 for(int i=0;i<year;i++) 26 { 27 memset(dp,0,sizeof(dp)); 28 money=sum; 29 money/=1000; 30 for(int j=0;j<d;j++) 31 { 32 for(int k=num[j];k<=money;k++) 33 { 34 dp[k]=max(dp[k-num[j]]+val[j],dp[k]); 35 } 36 } 37 sum+=dp[money]; 38 } 39 printf("%d ",sum); 40 } 41 return 0; 42 }
第三题是完全背包+路径输出，$dp[j]$表示总价格为$j$时最多可以有多少个硬币，但是需要维护一下硬币的个数，实际上在01背包中，我们对所有状态都更新了一次答案，这里我们等于是对4种硬币各跑一次背包，维护一下使用次数即可。$used[j]$表示总价格为j时用了多少个某个硬币。$pre[j]$记录方案，表示j出现更有的答案时是由哪个状态转移来的。最后遍历一下输出答案就好了。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 using namespace std; 4 int dp[10005], used[10005], pre[10005], coin[4] = {1, 5, 10, 25}, num[4], ans[26]; 5 int main(){ 6 int p; 7 while(scanf("%d %d %d %d %d", &p, &num[0], &num[1], &num[2], &num[3]) != EOF){ 8 if(p + num[0] + num[1] + num[2] + num[3] == 0) return 0; 9 for(int i = 0; i <= p; ++i){ 10 dp[i] = -1e9; 11 } 12 memset(pre, 0, sizeof(pre)); 13 pre[0] = -1; 14 dp[0] = 0; 15 for(int i = 0; i < 4; ++i){ 16 memset(used, 0, sizeof(used)); 17 for(int j = coin[i]; j <= p; ++j){ 18 if(dp[j] < dp[j - coin[i]] + 1 && used[j - coin[i]] < num[i]){ 19 used[j] = used[j - coin[i]] + 1; 20 dp[j] = dp[j - coin[i]] + 1; 21 pre[j] = j - coin[i]; 22 } 23 } 24 } 25 if(dp[p] <= 0){ 26 printf("Charlie cannot buy coffee. "); 27 continue; 28 } 29 memset(ans, 0, sizeof(ans)); 30 while(1){ 31 if(pre[p] == -1) break; 32 ans[p - pre[p]]++; 33 p = pre[p]; 34 } 35 printf("Throw in %d cents, %d nickels, %d dimes, and %d quarters. ", ans[1], ans[5], ans[10], ans[25]); 36 } 37 }
第四题一个简单的动态规划，比如要求55的组成方案数，必须要知道55-1=54的方案数 和 55-5=50的方案数，和50-10=45的方案数和55-25=30的方案数和55-50=5的方案数，所以dp以此类推，每次更新dp。
1 #include <cstring> 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 using namespace std; 5 int f[10000]; 6 int main () 7 { 8 int v; 9 while(cin>>v){ 10 memset(f,0,sizeof(f)); 11 int c[6]={0,1,5,10,25,50}; 12 f[0]=1; 13 for(int i = 1; i <= 5; ++i) 14 for(int j = c[i]; j <= v; ++j) 15 { 16 f[j] = f[j]+f[j-c[i]]; 17 } 18 cout << f[v]<<endl; 19 } 20 return 0; 21 }