【P2401】不等数列（DP）

这个题乍一看就应该是DP，再看一眼数据范围，1000.。那就应该是了。然后就向DP的方向想，经过对小数据的计算可以得出，如果我们用f[i][j]来表示前i个数有j个是填了"<"的，那么f[i][j]显然可以表示为f[i][j]+=f[i-1][j]*(j+1)+f[i-1][j-1] (i-j).

至于原因

1.与f[i-1][j-1]

在这种情况下，由于我们是从前往后去推的，所以当前加入的数一定比前面的都大。那么怎么才能使得其变为前n个有j个<呢？

仔细想一下你就会发现，你把这个数插入任何一个数后面，都必将“形成”一个小于号，但是如果我们插入到一个已经形成小于号的两数之间，则小于号数量就不会改变，因为前i-1个数都比当前的i小，所以一共有i-1个空位，但是又有j-1个空位已经形成<号，所以在这种情况下，前i个数形成的每一个有j-1个<的数列都可以形成(i-1)-(j-1)个新的前i个数中有j个<的数列，于是从f[i-1][j-1]能够推出f[i][j]的一部分为f[i-1][j-1]*((i-1)-(j-1))。

2.与f[i-1][j]

那么刚刚是说明了你加入这个数增加了一个小于号的情况。但如果我不增加呢？

我前i-1个数已经形成了j个<。那么我加入i使其不会增加小于号要怎么做呢？

由于上文我已经说过你把这样的i插入两个之间已经是<号的数之间是不会增加<的数量的。所以这样的空位，每一个形成前i-1数有j个<的数列就有j个这样的空位。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define re register
#define ll long long
#define mo 2015
using namespace std;
int n,k,l,f[1001][1001],ans;
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(re int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][i-1]=1;
        f[i][0]=1;
    }
    for(re int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(re int j=1;j<i-1;j++)
        {
            f[i][j]+=f[i-1][j]*(j+1)+f[i-1][j-1]*(i-j);
            f[i][j]%=mo;
        }
    }
    cout<<f[n][k]%mo;
}