大数乘法的几种算法分析及比较（2014腾讯南京笔试题）

转自：http://blog.csdn.net/chhuach2005/article/details/21168179

1.题目

       编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。

2.题目分析

       该题相继被ACM、华为、腾讯等选作笔试、面试题，若无准备要写出这种程序，还是要花一定的时间的。故，觉得有必要深入研究一下。搜索了网上的大多数该类程序和算法，发现，大数乘法主要有模拟手工计算的普通大数乘法，分治算法和FFT算法。其中普通大数乘法占据了90%以上，其优点是空间复杂度低，实现简单，时间复杂度为O（N²），分治算法虽然时间复杂度降低为,  

       但其实现需要配 合字符串模拟加减法操作，实现较为复杂，

    参考博客1http://cnn237111.blog.51cto.com/2359144/1201901 

    FFT算法则更为复杂，较少适用，有兴趣

    参考博客2 http://blog.csdn.net/hondely/article/details/6938497

        和博客3http://blog.csdn.net/jackyguo1992/article/details/12613287。

        普通大数乘法算法，主要有逐位相乘处理进位法、移位进位法，下面对其进行介绍并优化。

3.题目解答

3.1 逐位相乘处理进位法

        参考博客4的思路

        乘积是逐位相乘，也就是aibj，结果加入到积C的第i+j位，最后处理进位即可，例如：A =17 = 1*10 + 7 = （7,1）最后是十进制的幂表示法，幂次是从低位到高位，以下同。B=25 = 2*10 + 5 = (5, 2);C = A * B = (7 * 5, 1 * 5 + 2 * 7, 1 * 2) = (35, 19, 2) = (5, 22, 2) = (5, 2. 4)=425。

原博客的思路为：
（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

     原博客中采用指针参数传递，字符串长度有限制，改为通过string传参数，按原思路编程如下：

头文件和数据结构：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
struct bigcheng
{
    vector<int> a;
    vector<int> b;
    string result_str;
};
void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng);//字符串转换为数字并反转
void multiply(bigcheng &tempchengh,vector<int> &result_num);//逐位相乘,处理进位消除多余的0
void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num);//将计算结果转换为字符串并反转

（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng)
{
    int size_a=a.size();
    int size_b=b.size();
    for (int i=size_a-1;i>=0;i--)
    {
        tempcheng.a.push_back(a[i]-'0');
    }
    for (int i=size_b-1;i>=0;i--)
    {
        tempcheng.b.push_back(b[i]-'0');
    }
}

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；代码为：

void multiply(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)
{
    for (unsigned int i=0;i<tempcheng.a.size();i++)
    {
        for (unsigned int j=0;j<tempcheng.b.size();j++)
        {
            result_num[i+j]+=(tempcheng.a[i])*(tempcheng.b[j]);
        }
    }
    for (int i=result_num.size()-1;i>=0;i--)
    {
        if (result_num[i]!=0)
        {
            break;
        }
        else
            result_num.pop_back();
    }
    int c=0;
    for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)//处理进位
    {
        result_num[i]+=c;
        c=result_num[i]/10;
        result_num[i]=result_num[i]%10;
    }
    if (c!=0)
    {
        result_num.push_back(c);
    }
}

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)
{   int size=result_num.size();
    for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)
    {
        tempcheng.result_str.push_back(char(result_num[size-1-i]+'0'));
    }
}

主函数为：

int main()
{
       bigcheng tempcheng;
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    chartonum(a,b,tempcheng);
    vector<int> resultnum(a.size()+b.size(),0);
    multiply(tempcheng,resultnum);
    numtochar(tempcheng,resultnum);
    cout<<tempcheng.result_str<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

     上面的思路还是很清晰的，但代码有些过长，考虑优化如下：

（1）上述思路是先转换反转，其实无需先将全部字符串转换为数字的，可即用即转，节约空间；

（2）无需等到逐位相乘都结束，才处理进位，可即乘即进；

（3）无需等到所有结果出来后，将结果转换为字符，可即乘即转。

     优化后时间复杂度不变，但节省了空间，代码更简洁。如下：

头文件和数据结构：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
using namespace std;
struct bigcheng2
{
    string a;
    string b;
    string result_str;
};
void reverse_data( string &data)；//字符串反转
void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2);//字符串模拟相乘

字符串反转：

void reverse_data( string &data)
{
    char temp = '0';
    int start=0;
    int end=data.size()-1;
    assert( data.size()&& start <= end );
    while ( start < end )
    {
        temp = data[start];
        data[start++] = data[end];
        data[end--] = temp;
    }
}

两数相乘：

void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2)
{
    reverse_data(tempcheng2.a);//字符串反转
    reverse_data(tempcheng2.b);
    int c=0;
    string temp(tempcheng2.a.size()+tempcheng2.b.size(),'0');//将temp全部初始化为0字符
    for (unsigned int i=0;i<tempcheng2.a.size();i++)
    {
        unsigned int j;
        for (j=0;j<tempcheng2.b.size();j++)
        {
            c+=temp[i+j]-'0'+(tempcheng2.a[i]-'0')*(tempcheng2.b[j]-'0');//注意temp[i+j]可能保存有上一次计算的结果
            temp[i+j]=(c%10)+'0';//将结果转换为字符
            c=c/10;
        }
        while(c)
        {
            temp[i+j++]+=c%10;//temp里已存字符
            c=c/10;
        }
    }
    for (int i=temp.size()-1;i>=0;i--)
    {
        if (temp[i]!='0')
            break;
        else
            temp.pop_back();
    }
    reverse_data(temp);//结果?字Á?符¤?串ä?反¤¡ä转Áa
    tempcheng2.result_str=temp;
}

主函数：

int main()
{
       bigcheng2 tempcheng2;
       string a,b;
       cin>>a>>b;
       tempcheng2.a=a;
       tempcheng2.b=b;
       multiply2(tempcheng2);
       cout<<tempcheng2.result_str<<endl;
       system("pause");
       return 0;
}

3.2 移位进位法

       移位进位法也是普通的大数相乘算法，其时间复杂度也为O（N²）其基本思路参考博客5，简述如下：

　　按照乘法的计算过程来模拟计算：

　　　　   1 2

　　　　× 3 6

　　 ---------- ---- 其中，上标数字为进位数值。

　　　　　7¹ 2  --- 在这个计算过程中，2×6=12。本位保留2，进位为1.这里是一个简单的计算过程，如果在高位也需要进位的情况下，如何处理？

　　　　3 6

　   -----------

　　　　4¹3  2

        其代码优化如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
using namespace std;
void reverse_data( string &data);//字符串反转
void compute_value( string lhs,string rhs,string &result );
void reverse_data( string &data)
{
    char temp = '0';
    int start=0;
    int end=data.size()-1;
    assert( data.size()&& start <= end );
    while ( start < end )
    {
        temp = data[start];
        data[start++] = data[end];
        data[end--] = temp;
    }
}
void compute_value( string lhs,string rhs,string &result )
{
    reverse_data(lhs);
    reverse_data(rhs);
    int i = 0, j = 0, res_i = 0;
    int tmp_i = 0;
    int carry = 0;

    for ( i = 0; i!=lhs.size(); ++i, ++tmp_i )
    {
        res_i = tmp_i;  //在每次计算时，结果存储的位需要增加
        for ( j = 0; j!= rhs.size(); ++j )
        {
            carry += ( result[res_i] - '0' )+(lhs[i] - '0') * (rhs[j] - '0');//此处注意，每次计算并不能保证以前计算结果的进位都消除， 并且以前的计算结果也需考虑。
            result[res_i++] = ( carry % 10 + '0' );
            carry /= 10;
        }
        while (carry)//乘数的一次计算完成，可能存在有的进位没有处理
        {
            result[res_i++] = (carry % 10 + '0');
            carry /= 10;
        }
    }
    for (int i=result.size()-1;i>=0;i--)
    {
        if (result[i]!='0')
            break;
        else
            result.pop_back();
    }
        reverse_data(result);
}
int main()
{
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    string result(a.size()+b.size(),'0');
    compute_value(a,b,result);
    cout<<result<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

3.3大数相乘优化

3.2 移位进位法中的反转字符串其实不必要的，只需从数组的后面开始计算存储即可，下面实现代码：

char* bigcheng1(char *p1,char *p2)
{
    if (check(p1)||check(p2))
        throw exception("Invalid input!");
    int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3,carry=0;
    char *p3=new char[index1+index2+3];
    memset(p3,'0',index1+index2+2);
    p3[index1+index2+2]='';
    for (;index2>=0;--index2)
    {
        for (index1=strlen(p1)-1;index1>=0;--index1)
        {
            int num=p3[index1+index2+1]-'0'+(p1[index1]-'0')*(p2[index2]-'0')+carry;//p3[index1+index2+1]-'0',注意都是数字参与运算
            p3[index1+index2+1]=num%10+'0';
            carry=num/10;
        }
        int i=0;
        while(carry)
        {
            p3[index1+index2+1+(i--)]+=(carry%10);//注意字符和字符串的不同
            carry/=10;
        }
        index3=index1+index2+1+i;
    }
    while(index3>=0)
        p3[index3--]='0';
    return p3;
}

或者下面这样，其实是一样的，下面的相加、相减、相除一样的思路啦

char* bigcheng(char *p1,char *p2)
{
    if (check(p1)||check(p2))
        throw exception("Invalid input!");
    int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3,carry=0;
    char *p3=new char[index1+index2+3];
    memset(p3,'0',index1+index2+2);
    p3[index1+index2+2]='';
    for (;index2>=0;--index2)
    {
        for (index1=strlen(p1)-1;index1>=0;--index1)
        {
            int num=p3[index1+index2+1]-'0'+(p1[index1]-'0')*(p2[index2]-'0')+carry;//p3[index1+index2+1]-'0',注意都是数字参与运算
            if (num>=10)
            {
                carry=num/10;
                num%=10;
            }
            else carry=0;
            p3[index1+index2+1]=num+'0';
        }
        int i=0;
        while(carry)
        {
            p3[index1+index2+1+(i--)]+=(carry%10);//注意字符和字符串的不同
            carry/=10;
        }
        index3=index1+index2+1+i;
    }
    while(index3>=0)
        p3[index3--]='0';
    return p3;
}

3.4运行结果

        运行结果如图1、图2所示

   

                    图1    

 

                                                                    图2

3.5 大数相加

check合法性校验，校验字符串中是否有非数字。

bool check(char *p)
{
    if (!p)
    {
        return 1;
    }
    int i=0;
    while(p[i]!='')
    {
        if (p[i]<'0'||p[i]>'9')
        {
            return 1;
        }
        else ++i;
    }
    return 0;//合法
}

char* bigadd(char *p1,char *p2)
{
    if (check(p1)||check(p2))
    {
        throw exception("Invalid input!");
    }
    int len1=strlen(p1);
    int len2=strlen(p2);
    int len3=max(len1,len2)+1;
    char *p3=new char[len3+1];
    memset(p3,'0',len3);
    p3[len3]='';
    int index1=len1-1,index2=len2-1,index3=len3-1;
    int carry=0;
    while(index1>=0&&index2>=0)
    {
        int num=p1[index1--]-'0'+p2[index2--]-'0'+carry;
        if (num>=10)
        {
            carry=1;
            num-=10;
        }
        else
            carry=0;
        p3[index3--]=num+'0';
    }
    while(index1>=0)
    {
        int num=p1[index1--]-'0'+carry;
        if (num>=10)
        {
            carry=1;
            num-=10;
        }
        else
            carry=0;
        p3[index3--]=num+'0';
    }
    while(index2>=0)
    {
        int num=p1[index2--]-'0'+carry;
        if (num>=10)
        {
            carry=1;
            num-=10;
        }
        else
            carry=0;
        p3[index3--]=num+'0';
    }
    p3[index3]=carry?'1':'0';
    return p3;
}

3.6大数相减

char* bigminus(char *p1,char *p2,bool &flag)
{
    if (check(p1)||check(p2))
    {
        throw exception("Invalid input!");
    }
    flag=0;//正数默认
    if (strlen(p1)<strlen(p2))
    {
        flag=1;
        char *tmp=p1;
              p1=p2;
              p2=tmp;
    }
    else if (strlen(p1)==strlen(p2))
    {
        if (strcmp(p1,p2)<0)
        {
            flag=1;
            char *tmp=p1;
            p1=p2;
            p2=tmp;
        }
    }
    int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3=strlen(p1);
    char *p3=new char[strlen(p1)+2];
    memset(p3,'0',index3+1);
    p3[index3+1]='';
    int carry=0;
    while(index1>=0&&index2>=0)
    {
        int num=p1[index1--]-p2[index2--]-carry;
        if (num<0)
        {
            carry=1;
            num+=10;
        }
        else carry=0;
        p3[index3--]=num+'0';
    }
    while(index1>=0)
    {
        int num=p1[index1--]-'0'-carry;
        if (num<0)
        {
            carry=1;
            num+=10;
        }
        else carry=0;
        p3[index3--]=num+'0' ;
    }
        int i=0;
        while(p3[i]=='0') ++i;
        if (flag)
        {
          p3[i-1]='-';
        }
    return p3;
}

3.7大数相除

char* bigchu(char *p1,char *p2)//大数除，有问题，但思想是对的，关键怎么处理前面多样的0
{
    bool flag=0;
    char *tmp1=new char[strlen(p2)-strlen(p2)+1];
    char *tmp0=tmp1,*p3,*p4;
    memset(tmp1,'0',strlen(p2)-strlen(p2));
    tmp1[strlen(p2)-strlen(p2)]='';
    char *tmp2=bigminus(p1,p2,flag);
          p1=tmp2;
    while(!flag)
    {

        p3=bigadd(tmp0,"1");
        tmp1=tmp0;
        tmp0=p3;
        delete []tmp1;

        tmp2=bigminus(p1,p2,flag);
        p4=p1;
        p1=tmp2;
        delete []p4;
    }
    return tmp0;

}

3.8主函数测试

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    string a,b;
    while(1)
    {
        cin>>a>>b;
        char *p1=const_cast<char *>(a.c_str());
        char *p2=const_cast<char *>(b.c_str());
        bool flag=0;
        char *p3=bigadd(p1,p2);
        char *p4=bigminus(p1,p2,flag);
        char *p5=bigcheng1(p1,p2);
        //char *p6=bigchu(p1,p2);

        //cout<<p3<<endl<<endl<<p4<<endl<<endl<<p5<<endl<<endl;
        cout<<p1<<endl<<"bigadd"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";
        printnum(p3);
        cout<<endl;
        cout<<p1<<endl<<"bigminus"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";
        printnum(p4);
        cout<<endl;
        cout<<p1<<endl<<"bigcheng1"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";
        printnum(p5);
        cout<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

测试结果如下：