在计算机科学中，排序是一门基础的算法技术，许多算法都要以此作为基础，不同的排序算法有着不同的时间开销和空间开销。排序算法有非常多种，如我们最常用的快速排序和堆排序等算法，这些算法需要对序列中的数据进行比较，因为被称为基于比较的排序。
基于比较的排序算法是不能突破O(NlogN)的。简单证明如下：
N个数有N!个可能的排列情况，也就是说基于比较的排序算法的判定树有N!个叶子结点，比较次数至少为log(N!)=O(NlogN)(斯特林公式)。
而非基于比较的排序，如计数排序，桶排序，和在此基础上的基数排序，则可以突破O(NlogN)时间下限。但要注意的是，非基于比较的排序算法的使用都是有条件限制的，例如元素的大小限制，相反，基于比较的排序则没有这种限制(在一定范围内)。但并非因为有条件限制就会使非基于比较的排序算法变得无用，对于特定场合有着特殊的性质数据，非基于比较的排序算法则能够非常巧妙地解决。
本文着重介绍三种线性的非基于比较的排序算法：计数排序、桶排序与基数排序。
1.计数排序
假设我们有一个待排序的整数序列A，其中元素的最小值不小于0，最大值不超过K。建立一个长度为K的线性表C，用来记录不大于每个值的元素的个数。这个算法伪代码如下：
假设输入数组A[1..n]，A.length=n,我们还需要两个数组：B[1..n]存放排序的输出，C[0..k]提供临时存储空间。
COUNTING-SORT(A,B,k) 1 let C[0..k]be a new array 2 for i=0 to k 3 C[i] = 0 4 for j = 1 to A.length 5 C[A[j]] = C[A[j]] + 1; 6 //C[i] now contains the number of elements equal to i. 7 for i = 1 to k 8 C[i] = C[i] + C[i-1] 9 //C[i]now contains the number of elements less than or equal to i. 10 for j = A.length downto 1 11 B[C[A[j]]] = A[J] 12 C[A[J]] = C[A[j]] - 1;
上述代码在第2~3行for循环的初始化操作之后，数组C的值全为0；第4~5行的for循环遍历每一个输入元素。如果一个输入元素的值为i，就将C[i]值加1.于是，在第5行执行完成后，C[i]中保存的就是等于i的元素的个数，其中i=0,1,...,k。第7~8行通过加总计算确定对每一个i=0,1,...,k，就有多少输入元素是小于或等于i的。
最后，在第10~12行的for循环部分，把每个元素A[j]放到它在输出数组B中的正确位置上。如果所有n个元素都是互异的，那么当第一次执行第10行时，对每个A[j]值来说，C[A[j]]就是A[j]在输出数组中的最终正确的位置。这是因为共有C[A[j]]个元素小于等于A[j]。因为所有的元素可能并不都是互异的，所以，我们每将一个值A[j]放入数组B中一后，都要将C[A[j]]的值减1.这样，当遇到下一个值等于A[j]的输入元素（如果存在）时，该元素可以直接被放在输出数组A[j]的前一个位置上。
例如，输入数组A为{3, 4, 3, 2, 1}，最大是4，数组长度是5。
建立计数数组C{0, 0, 0, 0}。
遍历输入数组：
A{3, 4, 3, 2, 1} -> C{0, 0, 1, 0}
A{3, 4, 3, 2, 1} -> C{0, 0, 1, 1}
A{3, 4, 3, 2, 1} -> C{0, 0, 2, 1}
A{3, 4, 3, 2, 1} -> C{0, 1, 2, 1}
A{3, 4, 3, 2, 1} -> C{1, 1, 2, 1}
计数数组现在是{1, 1, 2, 1}，我们现在把它写回到输入数组里：
C{0, 1, 2, 1} -> A{1, 4, 3, 2, 1}
C{o, o, 2, 1} -> A{1, 2, 3, 2, 1}
C{o, o, 1, 1} -> A{1, 2, 3, 2, 1}
C{o, o, o, 1} -> A{1, 2, 3, 3, 1}
C{o, o, o, o} -> A{1, 2, 3, 3, 4}
这样就排好序了。
时间：O(n + k)，n是输入数组长度，k是最大的数的大小。
空间：O(n + k)，n是输入数组长度，k是最大的数的大小。
C++代码如下：
1 void CountingSort(int A[], int len, int k) { 2 if (A == NULL || len <= 0 || k <= 0) 3 return; 4 5 int *B = new int[len](); 6 int *C = new int[k+1](); 7 for (int i = 0; i < len; ++i) 8 C[A[i]]++; 9 for (int i = 1; i <= k; ++i) 10 C[i] += C[i - 1]; 11 12 for (int i = len - 1; i >= 0; --i) { 13 B[C[A[i]] - 1] = A[i]; 14 C[A[i]]--; 15 } 16 17 for (int i = 0; i < len; ++i) 18 A[i] = B[i]; 19 20 delete []C; 21 delete []B; 22 }
2. 桶排序
这种特殊实现的方式时间复杂度为O(N+K)，空间复杂度也为O(N+K)，同样要求每个元素都要在K的范围内。更一般的，如果我们的K很大，无法直接开出O(K)的空间该如何呢？
首先定义桶，桶为一个数据容器，每个桶存储一个区间内的数。依然有一个待排序的整数序列A，元素的最小值不小于0，最大值不超过K。假设我们有M个桶，第i个桶Bucket[i]存储iK/M至(i+1)K/M之间的数，有如下桶排序的一般方法：
- 扫描序列A，根据每个元素的值所属的区间，放入指定的桶中(顺序放置)。
- 对每个桶中的元素进行排序，什么排序算法都可以，例如快速排序。
- 依次收集每个桶中的元素，顺序放置到输出序列中。
对该算法简单分析，如果数据是期望平均分布的，则每个桶中的元素平均个数为N/M。如果对每个桶中的元素排序使用的算法是快速排序，每次排序的时间复杂度为O(N/Mlog(N/M))。则总的时间复杂度为O(N)+O(M)O(N/Mlog(N/M)) = O(N+ Nlog(N/M)) =O(N + NlogN - NlogM)。当M接近于N是，桶排序的时间复杂度就可以近似认为是O(N)的。就是桶越多，时间效率就越高，而桶越多，空间却就越大，由此可见时间和空间是一个矛盾的两个方面。
桶中元素的顺序放入和顺序取出是有必要的，因为这样可以确定桶排序是一种稳定排序算法，配合基数排序是很好用的
代码如下，使用的例子是算法导论上的例子（区间为[0,1))：
1 struct Node { 2 float value; 3 Node* next; 4 5 Node(float v = 0) :value(v), next(NULL) {} 6 }; 7 8 void Destruct(Node *p) { 9 if (p == NULL) { 10 return; 11 }else { 12 Destruct(p->next); 13 delete p; 14 } 15 } 16 17 void BucketSort(float A[], int n) { 18 Node **B = new Node*[n]; 19 memset(B, NULL, sizeof(Node*)*n); 20 21 int i = 0, j; 22 for (i = 0; i < n; i++) { 23 int bi = n * A[i] ; 24 Node* q = new Node(A[i]); 25 Node *p = B[bi]; 26 if (p == NULL) { 27 B[bi] = q; 28 } else if (p->next == NULL) { 29 if (A[i] < p->value) { 30 B[bi] = q; 31 q->next = p; 32 } else { 33 p->next = q; 34 } 35 } else { 36 while ( p->next != NULL && A[i] > p->next->value) 37 p = p->next; 38 q->next = p->next; 39 p->next = q; 40 } 41 } 42 43 for (i = j = 0; i < n; i++) { 44 Node *p = B[i]; 45 while (p != NULL) { 46 A[j++] = p->value; 47 p = p->next; 48 } 49 } 50 51 for (i = 0; i < n; i++) 52 Destruct(B[i]); 53 54 delete []B; 55 }
3.基数排序
下面说到我们的重头戏，基数排序(Radix Sort)。上述的基数排序和桶排序都只是在研究一个关键字的排序，现在我们来讨论有多个关键字的排序问题。
假设我们有一些二元组(a,b)，要对它们进行以a为首要关键字，b的次要关键字的排序。我们可以先把它们先按照首要关键字排序，分成首要关键字相同的若干堆。然后，在按照次要关键值分别对每一堆进行单独排序。最后再把这些堆串连到一起，使首要关键字较小的一堆排在上面。按这种方式的基数排序称为MSD(Most Significant Dight)排序。
第二种方式是从最低有效关键字开始排序，称为LSD(Least Significant Dight)排序。首先对所有的数据按照次要关键字排序，然后对所有的数据按照首要关键字排序。要注意的是，使用的排序算法必须是稳定的，否则就会取消前一次排序的结果。由于不需要分堆对每堆单独排序，LSD方法往往比MSD简单而开销小。下文介绍的方法全部是基于LSD的。
代码如下：
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 #include<cmath> 4 using namespace std; 5 6 int getMax(int arr[], int n) { 7 int mx = arr[0]; 8 for (int i = 1; i < n; i++) 9 if (arr[i] > mx) 10 mx = arr[i]; 11 12 return mx; 13 } 14 15 void CountSort(int arr[], int n, int exp) { 16 int *output = new int[n]; 17 int i, count[10] = { 0 }; 18 19 //Store count of occurrences in count[] 20 for (i = 0; i < n; i++) 21 count[(arr[i] / exp) % 10]++; 22 23 //Change count[i] so that count[i] now contains actual position of 24 //this digit in output[] 25 for (i = 1; i < 10; i++) 26 count[i] += count[i - 1]; 27 28 //Build the output array 29 for (i = n - 1; i >= 0; i--) { 30 output[count[(arr[i] / exp) % 10] - 1] = arr[i]; 31 count[(arr[i] / exp) % 10]--; 32 } 33 34 //Copy the output array to arr[], so that arr[] now 35 //contains sorted numbers according to current digit 36 for (i = 0; i < n; i++) 37 arr[i] = output[i]; 38 39 delete []output; 40 } 41 42 void RadixSort(int arr[], int n) { 43 //Find the maximum number fo know number of digits 44 int m = getMax(arr, n); 45 46 //Do counting sort for every digit. Note that instead of passing digit 47 //number, exp is passed. exp is 10^i where i is current digit number 48 for (int exp = 1; m / exp > 0; exp *= 10) 49 CountSort(arr, n, exp); 50 } 51 52 //A utility function to print an array 53 void Print(int arr[], int n) { 54 for (int i = 0; i < n; i++) 55 cout << arr[i] << " "; 56 } 57 58 int main() 59 { 60 int arr[] = { 170, 45, 90, 802, 24, 2, 66 }; 61 int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); 62 RadixSort(arr, n); 63 Print(arr, n); 64 65 system("pause"); 66 return 0; 67 68 }
三种排序算法的比较：
从整体上来说，计数排序，桶排序都是非基于比较的排序算法，而其时间复杂度依赖于数据的范围，桶排序还依赖于空间的开销和数据的分布。而基数排序是一种对多元组排序的有效方法，具体实现要用到计数排序或桶排序。
相对于快速排序、堆排序等基于比较的排序算法，计数排序、桶排序和基数排序限制较多，不如快速排序、堆排序等算法灵活性好。但反过来讲，这三种线性排序算法之所以能够达到线性时间，是因为充分利用了待排序数据的特性，如果生硬得使用快速排序、堆排序等算法，就相当于浪费了这些特性，因而达不到更高的效率。
在实际应用中，基数排序可以用于后缀数组的倍增算法，使时间复杂度从O(NlogNlogN)降到O(N*logN)。线性排序算法使用最重要的是，充分利用数据特殊的性质，以达到最佳效果。
参考文献：
1.http://www.geeksforgeeks.org/radix-sort/
2.http://www.geeksforgeeks.org/counting-sort/
3.https://www.byvoid.com/blog/sort-radix