信息存储
十六进制表示法
（略）
字数据大小
- 大多数计算机使用8bit的块（字节）作为最小的可寻址的内存单元
- 字长指明了指针数据的标称大小（？）
- 64位系统和32位系统向后兼容
- C语言中有些数据类型的具体大小依赖于程序的编译，C99引入
int32_t和int64_t类型，指明数据的长度 - C标准对不同数据类型的数字的范围设置了下界，没有设置上界
寻址和字节顺序
- 存储规则：对象的地址是什么？在内存中如何排列这些字节？
- 地址：多字节对象的存储地址为连续字节序列的最小字节地址
- 排列方式：
- 小端法：低字节存在低地址
- 大端法：低字节存在高地址
- 默认规则：书写时，地址从左往右表示从低到高，字节从左往右表示从高到低
- 关心字节顺序的场合：
- 网络数据传输
- 阅读字节序列
- 规避正常的类型系统，比如强制类型转换或者联合允许一种数据类型引用一个对象
- 代码示例：按字节读取内容
//按照字节打印数据中的内容
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned char *byte_pointer;
void show_bytes(byte_pointer start, int len){
int i;
for(i = 0; i < len; ++i){
printf(" %.2x", start[i]);
}
printf("
");
}
void show_int(int x){
show_bytes((byte_pointer)&x, sizeof(int));
}
int main(){
int num;
cin >> num;
show_int(num);
return 0;
}
字符串的表示
- 用ASCII码表示
- ASCII码只能表示英文字符，更一般的字符采用Unicode
代码表示
- 二进制代码不兼容，即不同系统上编译得到的二进制代码不同
布尔代数
- 运算：与、或、非
- 位向量
- 位向量表示有限集合
C语言中的位运算
- 将十六进制转换为二进制执行二进制运算，然后将结果转换为十六进制
C语言中的逻辑运算
- 0表示false，非0表示true
- 与位运算的不同：
- 位运算的参数是0或1
- 逻辑运算有短路原则
C语言中的移位运算
([x_{omega - 1}, x_{omega - 2}, ..., x_0])
- 左移：高位舍弃，低位补0 $ [x_{omega - 1 - k}, x_{omega - 2 - k}, ... x_0, underbrace{0, cdots, 0}_{k个}]$
- 右移：
- 算数右移：补符号位 ([underbrace{x_{omega - 1}, ..., x_{omega -1}}_{k个}, x_{omega -1}, x_{omega - 2}, ..., x_k])
- 逻辑右移：补0 ([underbrace{0, ..., 0}_{k个}, x_{omega - 1}, ..., x_k])
整数的表示
整型数据类型
- 典型实现中，负数比正数多1个
- C语言标准中规定（1）固定了数据大小（2）正数和负数对称
数据编码
假设整型数据类型有(omega)位，将其表示记作位向量(vec x = [x_{omega - 1}, x_{omega - 2}, cdots, x_0])
无符号数编码
- 定义：
-
范围：(Umax = sumlimits_{i = 0}^{omega - 1} 2 ^ i = 2 ^omega -1)
-
示例：
- 定理：(B2U_omega(vec x))是一个双射
补码表示
-
定义：
[B2T_{omega}(vec x) = -x_{omega - 1}2^{omega - 1} + sum_{i = 0}^{omega - 2}x_i 2 ^i【注】补码表示中，最高位被理解为负权 ]【注】补码表示中，最高位被理解为负权
-
范围：(Tmin = -2^{omega - 1}, Tmax = sumlimits_{i = 0} ^ {omega - 2}2 ^ i = 2 ^{omega - 1} - 1)
-
示例：
-
定理：(B2T_omega(vec x))是一个双射
【注】
-
补码的范围中：(vert Tminvert = vert Tmaxvert + 1)
-
补码和无符号数：(Umax = 2Tmax + 1)
-
所有机器都将有符号数表示为补码，尽管C语言标准没有明确规定
反码表示
- 定义：[B2O_{omega}(vec x) = -x_{omega - 1}(2^{omega - 1} - 1) + sum_{i = 0}^{omega - 2}x_i2^i ]
原码表示
- 定义：
有符号数和无符号数之间的转换
- C语言强制类型转换：不改变位级表示，只改变位的解释方式
补码转无符号数
-
补码转为无符号数：
[T2U_omega(x) = egin{cases} x + 2 ^omega & x < 0，\ x & x geq 0 end{cases} ] -
推导：
- 理解：将补码中最高位解释为负权变为解释为正权，将补码看做无符号数时，正数不变，负数变为一个更大的数
- 示例：
无符号数转补码
- 转换：
- 推导（同补码转无符号数）
总结
C语言中的有符号数和无符号数的转换
- C语言中默认数字都是有符号
- 声明一个无符号常量需要在数字后面缀上‘U’
- 一个运算中同时出现有符号数和无符号数时，会被隐式转换为无符号数
扩展数字的位表示
无符号数的0扩展
- (u_omega = [u_{omega -1}, cdots, u_0]longrightarrow u'_{omega + k} = [underbrace{0, cdots, 0}_{k个}, u_{omega -1}, cdots, u_0])
补码的符号扩展
- 定义
- 推导[egin{align} B2T_{omega + 1}(vec x') &= -x_{omega -1}2^omega + sum_{i = 0}^{omega - 1}x_i2^i\ &= -x_{omega - 1}2^omega + x_{omega -1}2^{omega - 1} + sum_{i=0}^{omega - 2}x_i 2^i\ &= -x_{omega - 1}2^{omega -1}+sum_{i=0}^{omega - 2}x_i 2^i\ &= B2T_omega(vec x) end{align} ]
截断数字的位表示
无符号数的截断
- 定理
- 推导：截断的部分对应的位权为(2^{k}, cdots, 2^omega)
补码的截断
- 定理
- 推导：以无符号数为中介
整数的运算
无符号数加法
- 定义运算(+_omega^u)，将无符号数(x, y)相加后截断(omega)位，可以视作是一种模运算
- 无符号数加法：
对于满足(0leq x, y < 2^omega)，有：
- 溢出判断：对于(s = x+_omega^uy)，当且仅当(s < xquad orquad s < y)时发生溢出
- 无符号数求反：模数加法形成了一个阿贝尔群，定义(x)的反为：
补码加法
- 定义运算(+_omega^t)，将有符号数(x, y)相加后截断(omega)位，可以视作是一种模运算
- 补码加法：
【注】还是来源于截断，当没有溢出时，不发生截断；溢出的情况只会是“正+正”或者“负+负”；“正+正”溢出时，符号位为0，数字部分的最高位变为1（进位导致增加的数字），截断后原有的符号位会被丢弃，符号位变为1，真实的值为(x+y=2^{omega -1} + sumlimits_{i=0}^{omega -2}x_i2^i)，截断后的值为(x+_omega^t y- = 2^{omega -1} + sumlimits_{i=0}^{omega -2}x_i2^i)，因此(x+_omega^t y = x + y - 2^omega)；负溢出解释相似。
- 推导：
有符号和无符号具有相同的位级表示，因此先将参数转换为无符号数，然后按照无符号数运算，最后将结果转换为补码
记(z=x+y, z' = zmod 2^omega, z'' = U2T_omega(z'))
若(-2^{omega}leq z < -2^{omega-1})，则(z'=z+2^omega)，因此(0leq z' < 2^{omega -1})，故(z''=z')
其余三种情况以此类推
- 补码加法溢出判断：“正+正=负”或者“负+负=正”
补码的非
- 定义：对于满足(Tminleq x leq Tmax)的(x)
- 根据位级表示计算补码的非：
- 各位取反再加1：-5=[1011], [0100] + [0001] = [0101] = 5
- 将符号位（包含符号位）与最后一个1之间的位取反：5=[0101], [1011] = -5
无符号乘法
- 定义：(x*_omega^uy=(xy)mod 2^omega)
补码乘法
- 定义：(x*_omega^t y=U2T_omega({(xy)mod 2^omega}))
- 无符号和补码乘法的位级等价性
给定长度为(omega)的位向量(vec x, vec y)，用补码形式定义的整数为(x, y)，用无符号定义的整数为(x', y')，则：
证明
乘常数
- 乘2的幂：(xcdot 2^k = x << k)
- 乘以常数K：将常数K分解为{0，1}序列，然后通过移位和加法
- 计算(xcdot K)
- 分解K：(K = [(0...0)(1...1)(0...0)...(1...1)])
- 计算：考虑从(n)位到(m)位（(n geq m)）为连续的1，有两种计算方案：
- ((x<<n) + (x <<(n-1))+...+(x<<m))
- ((x<<(n+1)) - (x<<m))
除以2的幂
-
对于无符号数，(x>>k)产生数值(lfloor x/2^k floor)
-
对于有符号数
(x>0)时同无符号数
(x<0)时，(x>>k)产生数值(lfloor x/2^k floor)，((x+(1<<k) - 1)>>k)产生数值(lceil x/2^k ceil)
-
偏置的设计：
注意到(lceil x/y ceil = lfloor (x+y-1)/y floor)，设(x = qy+r)，因此(lfloor (x+y-1)/y floor=q+lfloor(r+y-1)/y floor)，当(r)为0时，后面一项为0，当(r>0)时后面为1。取(y=2^k)，即可得到带偏置的除法公式