JOISC2014 挂饰（"01"背包）

传送门：

　　[1]:洛谷

　　[2]:BZOJ

参考资料：

　　[1]:追忆：往昔 

•题解

　　上述参考资料的讲解清晰易懂，下面谈谈我的理解；

　　关键语句：

　　

　　将此题转化为 "01背包" 类问题，关键就是上述语句；

　　据此，定义 dp[ i ][ j ] 表示前 i 个物品在钩子剩余 j 个的状态下所获得的最大喜悦值；

　　细节处理：

　　

　　为了应对负数的情况，让 dp[ i ][ j ] 的下标 j 全部增加 2000 ，这样就可以表示在负数范围内的值了。

　　状态转移：

　　首先，初始化 dp[][] 数组为 -INF，并令 dp[0][2001]=0（初始手机上含有一个挂钩）；

for(int i=1;i <= n;++i)
{
    a[i]--;
    for(int j=1;j <= 4000;++j)
    {
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
        if(dp[i][j] == -INF)
            continue;

        int k=min(j+a[i],4000);
        dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-1][j]+b[i],dp[i-1][k]));
    }
}    

　　解释1：挂饰 i 可以提供 a_i 个挂钩，但是，要把它挂到手机上需要消耗一个挂钩，所以，挂饰 i 额外提供 a_i-1 个挂钩；

　　解释2：第6行的更新是必不可少的，手动测试如下样例便可明白：

5
0 0
0 0
0 0
0 0
0 10

　　解释3：第 11 行，dp[ i ][ k ] 只受状态 dp[ i-1 ][ j ] 和 dp[ i-1 ][ k ] 的影响，为什么在判断的时候需要额外与 dp[ i ][ k ] 判断呢？

　　　　　  仔细看一下 k，如果 j+a[ i ] 超过上界 4000，那么 k = 4000，对于超过 4000 的肯定都更新到了 dp[ i ][ 4000 ]上;

　　　　　  所以，dp[ i ][ 4000 ] 会首其他状态的影响，而不只是上述两种状态的影响；

　　验证解释3的正确性：

　　将第 11 行代码改成如下所示代码（AC）：

if(k < 4000)
    dp[i][k]=max(dp[i-1][j]+b[i],dp[i-1][k]);
else
    dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-1][j]+b[i],dp[i-1][k]));

　　而改成如下所示代码（WA）：

dp[i][k]=max(dp[i-1][j]+b[i],dp[i-1][k]);

•Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int maxn=2e3+50;

int n;
int a[maxn];
int b[maxn];
int dp[maxn][maxn<<1];

int Solve()
{
    for(int i=0;i <= n;++i)
        for(int j=0;j <= 4000;++j)
            dp[i][j]=-INF;

    dp[0][2001]=0;
    for(int i=1;i <= n;++i)
    {
        a[i]--;///物品i本身需要占用一个钩子，所以其可以提供的钩子个数为a[i]-1
        for(int j=1;j <= 4000;++j)
        {
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
            
            if(dp[i][j] == -INF)
                continue;

            int k=min(j+a[i],4000);
            dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-1][j]+b[i],dp[i-1][k]));
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=2000;i <= 4000;++i)
        ans=max(ans,dp[n][i]);
    return ans;
}

int main()
{
//    freopen("C:\Users\hyacinthLJP\Desktop\in&&out\contest","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i <= n;++i)
        scanf("%d%d",a+i,b+i);

    printf("%d
",Solve());

    return 0;
}

•利用滚动数组降低dp的维数

　　

•Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int maxn=2e3+50;

int n;
int a[maxn],b[maxn];
int dp[maxn<<1];

int Solve()
{
    mem(dp,-INF);
    dp[2001]=0;

    for(int i=1;i <= n;++i)
    {
        a[i]--;
        if(a[i] > 0)
        {
            for(int j=4000;j >= 0;--j)
            {
                if(dp[j] == -INF)
                    continue;
                int k=min(j+a[i],4000);
                dp[k]=max(dp[j]+b[i],dp[k]);
            }
        }
        else
        {
            for(int j=0;j <= 4000;++j)
            {
                if(dp[j] == -INF)
                    continue;
                dp[j+a[i]]=max(dp[j]+b[i],dp[j+a[i]]);
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=2000;i <= 4000;++i)
        ans=max(ans,dp[i]);

    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i <= n;++i)
        scanf("%d%d",a+i,b+i);

    printf("%d
",Solve());

    return 0;
}