Codeforces Round #305 (Div. 2)

传送门

C.Mike and Frog（思维+拓展GCD）

•题意

　　给你初始高度 h₁,h₂ 和目标高度 a₁,a₂ 以及参数 m,x₁,y₁,x₂,y₂；

　　每次操作都可以使得 $h_1=(h_1cdot x_1+y_1) mod m $ , $h_2=(h_2cdot x_2+y_2) mod m $;

　　问最少经过多少次操作可以使得 h₁ 变为 a₁ 的同时，h₂ 变为 a₂；

•题解

　　因为涉及取模的操作，所以，一定会有循环节；

　　任意给定 $2m$ 个数，假设为 $a_1,a_2,cdots ,a_{2m}$，那么一定有 $exists i,j: a_i mod m = a_j mod m ,i eq j$;

　　但因为本题 h 之间都是有联系的，所以，对于 $h_1$ 来说，操作 $2m$ 次，一定会出现循环节；

　　如果一个循环节中没有出现目标高度 $a_1$，那么，在以后的循环中，一定也不会出现 $a_1$；

　　但是，$a_1$ 没有出现在循环节中并不代表 $h_1$ 不能变成 $a_1$，因为 $a_1$ 可能出现在循环开始前；

　　例如，假设 $m=10,h_1=1,a_1=1,x_1=2,y_1=0$；

　　$h_1$ 的变化如下：

　　　　$h_1:1 ightarrow 2 ightarrow 4 ightarrow 8 ightarrow 6 ightarrow 2 ightarrow cdots$

　　易得其变化的循环节为：$2 ightarrow 4 ightarrow 8 ightarrow 6$；

　　而目标高度 1 出现在循环开始前；

　　当然，题面说了 $a_1 eq h_1$，这个例子只是说明一下会有 “目标高度出现在循环前” 这种情况；

　　所以说，目标高度 $a_1$ 可能出现在循环开始前，也可能出现在循环节中，也可能不出现；

　　这样的话，就得分类讨论；

　　在紧接着的 $2m$ 次操作中，有如下几种可能：

　　　　（1）$a_1$ 未出现或者 $a_2$ 未出现

　　　　（2）$a_1$ 和 $a_2$ 都出现在了循环开始前

　　　　（3）$a_1$ 出现在了循环开始前，$a_2$ 在循环节中

　　　　（4）$a_2$ 出现在了循环开始前，$a_1$ 在循环节中

　　　　（5）$a_1$ 和 $a_2$ 都出现在了循环节中

　　对于情况 （1）、（2）、（3）、（4） 都很好处理，主要是情况 （5） 如何判断是否有解以及如何求出最小的整数解；

　　下面主要谈谈我对情况（5）的处理；

　　设 $p_1$ 表示 $a_1$ 第一次出现时进行的操作次数，$p_2$ 表示 $a_2$ 第一次出现时进行的操作次数；

　　　 $d_1$ 表示 $a_1$ 所在循环节的长度，$d_2$ 表示 $a_2$ 所在循环节的长度；

　　判断是否有相同的操作次数，使得 $h_1$ 变为 $a_1$，$h_2$ 变成 $a_2$，可以转化成是否存在 x₁,y₁ 使得等式

　　　　$p_1+x_1d_1=p_2+x_2d_2$ 成立；

　　哇，这不就是拓展欧几里得么；

　　问题到这就算是搞定了，如果你不会拓展欧几里得算法，可以看一下我的这篇博客（打个小广告，哈哈哈） 

•Code

　　CodeForces548C.cpp

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D.Mike and Feet（单调栈）

•题意

　　有 n 个数，分别表示为 $a_1,a_2,cdots ,a_n$;

　　定义 $f_i$ 表示对于任意长度为 i 的连续的区间，都有个区间最小值，求这些区间最小值中的最大值；

　　输出 n 个数，分别表示 $f_1,f_2,cdots ,f_n$；

•题解

　　对于任意一个数 $a_i$，求出以 $a_i$ 为最小值的最大区间，这个可以用单调栈 O(n) 求出；

　　求出后，按照 $a_i$ 降序排列，优先将 $a_i$ 大的所包含的区间输出；

•Code

　　CodeForces548D.cpp