洛谷 P1140 相似基因（DP）

传送门

•参考资料

　　[1]:https://www.cnblogs.com/real-l/p/9712029.html

　　[2]:https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1140

•题解

　　方法一：枚举所有可能（记忆型DP）

　　相关变量解释：

　　　　m,n...................................................分别代表串1、串2的长度

　　　　a[maxn]............................................a[i] : 串 1 的 i 位置的字母对应的数字（下标从 1 开始，并且 A->1;C->2;G->3;T->4）

　　　　b[maxn]............................................b[i] : 串 2 的 i 位置的字母对应的数字（解释同上）

　　　　dp[maxn][maxn]................................dp[ i ][ j ] : 串 1 的 1~i 与 串 2 的 1~j 匹配所获得的最大相似度；

　　　　table[maxn][maxn]............................对应题干中的基因配对表

　　步骤：

　　(1):预处理出dp[ i ][0] , dp[0][ j ](1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n)

for(int i=1;i <= m;++i)
      dp[i][0]=dp[i-1][0]+table[a[i]][5];

for(int i=1;i <= n;++i)
      dp[0][i]=dp[0][i-1]+table[b[i]][5];

这一操作是什么意思呢？

　　根据dp[][]的含义可知，dp[ i ][0]表示的是串 1 匹配到 i 字符，串2匹配到0 的最大相似度；

　　串2匹配到 0 字符意味着串1的第 i 个字符匹配' - '吗，对应着table表中的table[a[ i ]][5]； 

　　而前 i-1 个字符匹配的也是' - '，根据最大相似度的定义，所以匹配到 i 字符处的最大相似度就是

　　　　table[a[0]][5]+table[a[1]][5]+........+table[a[ i ]][5]，此处用前缀和表示；

　　同理可得dp[ 0 ][ i ]得含义。

　　(2):状态转移方程

　　　　对于串1的 i 位置，串2的 j 位置时，有一下三种可能：

　　　　①:串1的 i 位置和 ' - ' 配对 dp[ i-1 ][ j ]+table[ a[i] ][5];

　　　　②:串2的 j 位置和 ' - ' 配对 dp[ i ][ j-1 ]+table[ b[j] ][5];

　　　　③:串1的 i 位置和串2的 j 位置配对 dp[ i-1 ][ j-1 ]+table[ a[i] ][ b[j] ];

　　　　从中找出最大的相似度赋值给dp[ i ][ j ];

•Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=100+50;

int m,n;
int dp[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn];
int table[5][6]={
    {0},
    {0,5,-1,-2,-1,-3},
    {0,-1,5,-3,-2,-4},
    {0,-2,-3,5,-2,-2},
    {0,-1,-2,-2,5,-1}
};
void Solve()
{
    for(int i=1;i <= m;++i)
        dp[i][0]=dp[i-1][0]+table[a[i]][5];
    for(int i=1;i <= n;++i)
        dp[0][i]=dp[0][i-1]+table[b[i]][5];
    for(int i=1;i <= m;++i)
    {
        for(int j=1;j <= n;++j)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+table[a[i]][5];// 串1的 i 字符匹配 ' _ '
            dp[i][j]=max(max(dp[i][j],dp[i][j-1]+table[b[j]][5]),dp[i-1][j-1]+table[a[i]][b[j]]);//串2的j字符匹配'_' 和 串1的i字符匹配串2的j字符
        }
    }
    printf("%d
",dp[m][n]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&m);
    getchar();
    for(int i=1;i <= m;++i)
    {
        char letter=getchar();
        if(letter == 'A')
            a[i]=1;
        else if(letter == 'C')
            a[i]=2;
        else if(letter == 'G')
            a[i]=3;
        else
            a[i]=4;
    }
    scanf("%d",&n);
    getchar();
    for(int i=1;i <= n;++i)
    {
        char letter=getchar();
        if(letter == 'A')
            b[i]=1;
        else if(letter == 'C')
            b[i]=2;
        else if(letter == 'G')
            b[i]=3;
        else
            b[i]=4;
    }
    Solve();
}

•初始疑惑

　　状态转移方程对应的三种状态没有表示处串 1 的 i 字符匹配 ' - '和串2的 j 字符匹配 ' - ' 这一情况啊。

•我的理解

　　对于情况① dp[ i-1 ][ j ]+table[ a[i] ][5]：

　　dp[ i-1 ][ j ]的意思是， i 之前的字符和串 2 匹配过程中所能获得的最大的相似度，

　　如果串1的 i 字符匹配 ' - '和串2的 j 字符匹配 ' - ' 这一情况对应的相似度最大，那么 dp[ i-1 ][ j ]就是串2的 j 字符匹配 ' - '。

　　情况②同理。

•分析：此题为什么可以用DP来做？

　　1.满足最优子结构性质

　　　　当串1来到 i 位置，串2来到 j 位置，如果dp[ i ][ j ]对应的解是最优解，则其之前的位置dp[1.....i-1][1........j-1]也一定是最优解。

　　2.无后效性性质

　　　　当前状态值dp[ i ][ j ]一旦确定，则此后过程的匹配就只和dp[ i ][ j ]这个状态的值有关，和之前是采取哪种匹配方式演变到当前的状态没有关系。

---

分割线：2019.6.11

•简短题解

最近在练习动规，拿出之前做的题重新做一下；

定义dp[ i ][ j ]表示串 s 的 1~i 与串 t 的 1~j 的最大匹配度；

dp[ i ][ j ]=max{ dp[ i-1 ][ j-1 ]+|s_i -- t_j| , dp[ i-1 ][ j ]+|s_i -- ' - '| , dp[ i ][ j-1 ]+|t_j -- ' - '|  | 1 ≤ j ≤ |t| };

•Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX(a,b,c) max(max(a,b),c)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int maxn=100+50;

int n,m;
char s[maxn];
char t[maxn];
map<char ,int >f;
int g[6][6]=
{
    {5,-1,-2,-1,-3},
    {-1,5,-3,-2,-4},
    {-2,-3,5,-2,-2},
    {-1,-2,-2,5,-1},
    {-3,-4,-2,-1}
};

int dp[maxn][maxn];
int Solve()
{
    f['A']=0,f['C']=1,f['G']=2,f['T']=3;

    mem(dp,0);
    dp[1][0]=g[f[s[1]]][4];
    for(int i=2;i <= n;++i)
        dp[i][0]=dp[i-1][0]+g[f[s[i]]][4];

    dp[0][1]=g[f[t[1]]][4];
    for(int j=2;j <= m;++j)
        dp[0][j]=dp[0][j-1]+g[f[t[j]]][4];

    for(int i=1;i <= n;++i)
    {
        for(int j=1;j <= m;++j)
        {
            int x=f[s[i]];
            int y=f[t[j]];
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+g[x][y];
            dp[i][j]=MAX(dp[i][j],dp[i-1][j]+g[x][4],dp[i][j-1]+g[y][4]);
        }
    }
    return dp[n][m];
}
int main()
{
//    freopen("C:\Users\hyacinthLJP\Desktop\in&&out\contest","r",stdin);
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    scanf("%d%s",&m,t+1);
    printf("%d
",Solve());

    return 0;
}