统计0到n之间1的个数

问题描述

　　给定一个十进制整数N,求出从1到N的所有整数中出现”1”的个数。 

　　例如：N=2时 1,2出现了1个 “1” 。

　　　　    N=12时 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出现了5个“1”。

方法一 暴力求解

　　最直接的方法就是从1开始遍历到N，将其中每一个数中含有“1”的个数加起来，就得到了问题的解。

　　代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int countNum(int n,int* count){
    int ret = 0;
    int i, j=0,ncount = 0;
    for (i = 0; i <= n; i++)
    {
        j = i; // 记录i的值
        while (j!=0)
        {
            if (j % 10 == 1){ // 判断条件是否成立
                ncount++;
            }
            j = j / 10;  
        }
    }
    *count = ncount;
    return ret;
}
int main()
{
    int count = 0;
    int ret;
    ret = countNum(10, &count);
    if (ret != 0){
        cout << "func countNum() excute err " << endl;
        return ret;
    }
    cout << "1的个数为:" << count<< endl;
    cout <<"hello world"<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

　　时间复杂度为:O(NlogN)

解法二 

　　1位数的情况：

　　在解法二中已经分析过，大于等于1的时候，有1个，小于1就没有。

　　 2位数的情况：

　　N=13,个位数出现的1的次数为2，分别为1和11，十位数出现1的次数为4，分别为10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

　　N=23,个位数出现的1的次数为3，分别为1，11，21，十位数出现1的次数为10，分别为10~19，f(N)=3+10。

　　由此我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数有关，和十位数也有关，如果个位数大于等于1，则个位数出现1的次数为十位数的数字加1；如果个位数为0，个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关，也和个位数相关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1，假如十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。

　　 3位数的情况:

　　N=123

　　个位出现1的个数为13:1,11,21，…，91,101,111,121

　　十位出现1的个数为20:10~19,110~119

　　百位出现1的个数为24:100~123

　　 我们可以继续分析4位数，5位数，推导出下面一般情况： 

　　假设N，我们要计算百位上出现1的次数，将由三部分决定：百位上的数字，百位以上的数字，百位一下的数字。

　　如果百位上的数字为0，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12013，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个。等于更高位数字乘以当前位数，即12 * 100。

　　如果百位上的数字大于1，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12213，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数，即（12 + 1）*100。

        如果百位上的数字为1，则百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。例如12113，受高位影响出现1的情况：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个，但它还受低位影响，出现1的情况是12100~12113，共114个，等于低位数字113+1。

　　代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int countNum(long n){
    long count = 0;
    long i = 1;
    long current = 0, after = 0, before = 0;
    while ((n / i) != 0){
        current = (n / i) % 10;
        before = n / (i * 10);
        after = n - (n / i) * i;
        if (current > 1)
            count = count + (before + 1) * i;
        else if (current == 0)
            count = count + before * i;
        else if (current == 1)
            count = count + before * i + after + 1;
        i = i * 10;
    }
    return count;
}
int main(){
    cout <<countNum(13)<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

解法三：

def countNum(n,char):
    return sum([str(i).count(char) for i in range(1,n+1)])