【算法】位运算与优化

刚刚学算法的时候，看到dalao处处用位运算，感觉真的太玄学了，然后直到今天才深入理解了下位运算的操作，其实并没有多么玄学，只不过是利用了计算机本身的性质罢了。

基本概念：

真值：

带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值
0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

原码：

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值
PS：正数的原、反、补码都一样：0的原码跟反码都有两个，因为这里0被分为+0和-0。

反码：

正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

补码：

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

PS：0的补码是唯一的，如果机器字长为8那么[0]补=00000000。

移码：

移码最简单了，不管正负数，只要将其补码的符号位取反即可。

例如：X=-101011 , [X]原= 10101011 ，[X]反=11010100，[X]补=11010101，[X]移=01010101

位运算基本运算符：

&：按位与
|：按位或
^：按位异或（相同为1，不同为0）
~：取反
<<：左移
>>：右移

常用位运算优化方法：

1.判断整数奇(1)偶(0)性：

bool IsOdd(int x)//判断是否为奇数
{
    return x&1;
}

2.乘以或除以2的幂：

列如：    乘以2: x<<1;
　　　　 乘以2的n次方：x<<n;
　　　　 除以2：x>>2;
　　　　 除以2的n次方：x>>n;
变式：    计算2的n次方：2<<(n-1);

3.比较两个数是否相等：

计算两个数的异或值，若等于0，则两数相等。

bool IsEqual(int a,int b)
{
    return !(a^b);
}

4.不使用第三方变量交换a，b：

int a,int b;
a=a^b;
b=a^b;
a=a^b;

5.判断两个数是否同号：

!((a^b)>>31);

6.求n的绝对值：

(n^(n>>31))-(n>>31);

7.提取lowbit()：

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

8.计算整数x和y的平均值，可防止溢出。

int average(int x, int y) //返回X,Y 的平均值 
{ 
　　return (x&y)+((x^y)>>1); 
}

9.判断一个整数n是否为2的幂 2^n：

((x&(x-1))==0)&&(x!=0);