什么是GCD？
GCD是最大公约数的简称（当然理解为我们伟大的党也未尝不可）。在开头，我们先下几个定义：
①a|b表示a能整除b（a是b的约数）
②a mod b表示a-[a/b]b（[a/b]在Pascal中相当于a div b）
③gcd(a,b)表示a和b的最大公约数
④a和b的线性组合表示ax+by（x,y为整数）。我们有：若d|a且d|b，则d|ax+by（这很重要！）
欧几里得算法又称为辗转相除法，设两个数 a,b则 a,b的最大公约 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 不妨设 a>=b,c=gcd(a,b),a=kc,b=jc,则 k,j 互素（否则 c 不是 a,b 的最大公约数） ，则设r=a%b 则 a=mb+r, 则 r=a-mb=kc-mjc=(k-mj)c, 因为 k,j 互素，则 k-mj 与 j 互素gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
1 //非递归版，C语言实现 2 int gcd(int a,int b) 3 { 4 if(!a) 5 return b; 6 int c; 7 while(b) 8 { 9 c=b; 10 b=a%b; 11 a=c; 12 } 13 return a; 14 }
1 //递归版，C语言实现 2 int gcd(int a,int b) 3 { 4 if(b==0) 5 return a; 6 return gcd(b,a%b); 7 }
一般很少有题目只要求最大公约数，但是通常很多题会用到求最大公约数的过程，比如判断两个数是否互素（最大公约数为 1） ，这个时候欧几里得算法暨辗转相除法就变成了很得力的工具，因为每一步都是取模，保证了数据减小的速度特别快。能够在很短的时间内求出两个数的最大公约数。