组合数学、
-排列组合数
----sum求
sum=sum*(m--)/i;
int c(int n,int m)//n下标，m上标
{
int sum=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
sum=sum*(n--)/i;
return sum;
}
----二维数组递推（打表）
#define maxx 1000
int c[maxx+2][maxx+2];
void init()//递推打表
{
memset(c,0,sizeof(c));
c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
for(int i=2;i<maxx;i++)
{
c[i][i]=c[i][0]=1;
for(int j=0;j<i;j++)
{
c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j]);
}
}
}
---原始公式（单个）数字太大，用分子分母约分，优化
#define maxx 1000
int c[maxx+2][maxx+2];
void init()//递推打表
{
if(m>n-m)
m=n-m;
int temp=n;
for(int i=1;i<=m;i++)//根据组合公式把原始的分子分母分别存在数组中
{
up[i]=temp--;
down[i]=i;
}
for(int i=1;i<=m;i++)//外层循环代表分母，对分母依次进行约分
for(int j=1;j<=m;j++)
{
temp=gcd(down[i],up[j]);
if(temp>1)
{
up[j]/=temp;
down[i]/=temp;
}
if(down[i]==1)//分母已经为1，退出，进行下一个分母的约分
break;
}
int sum=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
sum=sum*up[i]/down[i];
return sum;
}
-全排列模板
-----生成全排列函数
prev_permutation和next_permutation
int main ()
{
int a[] = {1,2,3};
do
{
cout<<a[0]<<" "<<a[1]<<" "<<a[2]<<endl;
}while(next_permutation(a,a+3));// 后一个排列组合
return 0;
}
区别prev_permutation //前一个排列组合
--母函数
模板---用的时候一般会变一下数，式子中等阶指数（xiayige）
--错排
错位排列的公式有
dn=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)
还有一个递推的形式
d[n]=(n-1)*(d[n-1]+d[n-2])
void D()
{
for(int i=2;i<=20;i++)
d[i]=(i-1)*(d[i-1]+d[i-2]);
}
---卡特兰数
卡特兰数：
1 通项公式：
h(n)=C(n,2n)/(n+1)=(2n)!/((n!)*(n+1)!)
2递推公式:
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); h(n)
=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0).
3前几项为：h(0)=1,h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5,h(4)=14,h(5)=42,......
欧拉函数
φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1
求单个（公式地推）
int phi(int n)//求phi(n)
{
int m=(int)sqrt(n+0.5);
int ans=n;
for(int i=2;i<=m;i++)
if(n%i==0)
{
ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0)
n/=i;
}
if(n>1)
ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
打表（筛法）
#define maxn 32768
int phi[maxn];
void phi_table(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
phi[i]=0;
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(!phi[i])
for(int j=i;j<=n;j+=i)
{
if(!phi[j])
phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}
背包
01
c[i][m]=max{c[i-1][m],c[i-1][m-w[i]]+p[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入重量为m的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为c[i-1][m]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为m-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是c[i-1][m-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值p[i]。