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  • 霍夫丁不等式

    (X_1,X_2,cdots,X_n)为独立随机变量,且(X_i in [a,b]),随机变量的经验均值可表示为:

    [overline{X}=frac{X_1+X_2+cdots+X_n}{n} ]

    霍夫丁不等式叙述如下:

    [(1)forall t >0, P(overline{X}-E(overline{X}) geqslant t) leqslant exp(-frac{2n^2t^2}{sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2}) ]

    [(2)forall t >0, P(E(overline{X})-overline{X} geqslant t) leqslant exp(-frac{2n^2t^2}{sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2}) ]

    [(3)forall t >0, P(|overline{X}-E(overline{X})| geqslant t) leqslant 2exp(-frac{2n^2t^2}{sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2}) ]

    (S_n=X_1+X_2+cdots+X_n)

    [(4)forall t >0, P(S_n-E(S_n) geqslant t) leqslant exp(-frac{2t^2}{sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2}) ]

    [(5)forall t >0, P(E(S_n)-S_n geqslant t) leqslant exp(-frac{2t^2}{sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2}) ]

    [(6)forall t >0, P(|S_n-E(S_n)| geqslant t) leqslant 2exp(-frac{2t^2}{sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2}) ]

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