无穷小
无穷小的定义：
如果函数 (f(x)) 当 (x ightarrow x_0) （或 (x ightarrow infty)）时的极限为零那么称函数 (f(x)) 为当 (x ightarrow x_0) （或 (x ightarrow infty)）时的无穷小。
特别的，以零为极限的数列 ({ a_n }) 称为 (n ightarrow infty) 的无穷小
注意：不要把无穷小与很小的数(例如百万分之一)混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在(x ightarrow x_0) （或 (x ightarrow infty)）的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数 (varepsilon) ，而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数 (varepsilon)，例如取 (varepsilon) 等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的 (varepsilon) .但零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果(f(x) equiv 0)，那么对于任意给定的 (varepsilon > 0) 总有 (lvert f(x) vert < varepsilon) .
定理：
在自变量的同一变化过程 (x ightarrow x_0) （或 (x ightarrow infty)）中，函数 (f(x)) 具有极限 (A) 的充分必要条件 (f(x) = A + alpha) ，其中 (alpha) 是无穷小。
无穷大
无穷大的定义：
函数 (f(x)) 在 (x_0) 的某一去心邻域内有定义（或 (lvert x vert) 大于某一正数时有定义）。如果对任一给定的正数 (M) （不论它多么大），总存在正数 (delta) （或正数 (X) ），只要 (x) 适合不等式 (0 < lvert x - x_0 vert < delta) （或 (lvert x vert > X) ），对应的函数值 (f(x)) 总满足不等式
[lvert f(x) vert > M ]那么称函数 (f(x))是当 (x ightarrow x_0) （或 (x ightarrow infty)）时无穷大。
定理：
在自变量的同一变化过程 中，如果 (f(x)) 为无穷大，那么 (cfrac{1}{f(x)}) 为无穷小；反之，如果 (f(x)) 为无穷小，且 (f(x) eq 0) ，那么 (cfrac{1}{f(x)}) 为无穷大。
无穷小的比较
定义：
如果 (lim cfrac{eta}{alpha} = 0) ，则称 (eta) 是 (alpha) 高阶的无穷小，记作 (eta = o(alpha))
如果 (lim cfrac{eta}{alpha} = infty) ，则称 (eta) 是 (alpha) 低阶的无穷小
如果 (lim cfrac{eta}{alpha} = c eq 0) ，则称 (eta) 与 (alpha) 是同阶无穷小
如果 (lim cfrac{eta}{alpha^k} = c eq 0) ，则称 (eta) 是关于 (alpha) 的 (k) 阶无穷小
如果 (lim cfrac{eta}{alpha} = 1) ，则称 (eta) 与 (alpha) 是等价无穷小， 记作 (alpha sim eta)
定理1：
(eta) 与 (alpha) 是等价无穷小的充要条件为：
[eta = alpha + o(alpha) ]
定理2：
设 (alpha sim widetilde{alpha},eta sim widetilde{eta}) ，且 (displaystyle lim{cfrac{widetilde{eta}}{widetilde{alpha}}}) 存在，则
[lim cfrac{eta}{alpha} = lim{cfrac{widetilde{eta}}{widetilde{alpha}}} ]