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  • 欧几里德算法和扩展欧几里德算法

      欧几里德算法

    也就是一般说的辗转相除法。代码框架如下:

    int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
    }


    粗略估计需要进行O(log b)次整数运算。实际上,当n固定后gcd(m, n)的平均迭代次数(m <= n)近视为(12*ln2 / π2)*ln(n)  。(不知道怎么证明的-_-!)

      扩展欧几里德算法

      设gcd(a, b) = d,则存在正整数x, y满足ax + by = d。算法框架

    int x, y;

    int ext_gcd(int a, int b) {
    if(b == 0) {
    x = 1; y = 0;
    return a;
    }
    int p = ext_gcd(b, a%b);
    int tmp = x;
    x = y; y = tmp - (a/b)*y;
    return p;
    }


       证明:

    当b == 0时,显然,x = 1, y = 0. d = a;

    当b != 0时, 设

      a*x1 + b*y1 = d ;(d = gcd(a, b))

      b*x2 + (a%b)*y2 = d;

    所以

      a*x1 + b*y1 = b*x2 + (a - (a/b)*b)*y2

      a*x1 + b*y1 = a*y2 + b*(x2 - (a/b)*y2)

    所以

      x1 = y2;

      y1 = x2 - (a/b)*y2

    到此得证上边的算法框架。

    扩展欧几里德算法可以用来判断整数点是否在直线上,因为直线方程有ax + by + c = 0

    ps: 不要以为数论里的证明很繁琐就不看,只记住几个公式那不叫搞数论!写在这里以自醒!

      

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