时间序列 介绍（一）

引言

DT时代，数据的重要性已经不必再强调了。

最近几年深度学习，机器学习，人工智能炙手可热，各行各业的人，无论是单纯的蹭热度也好，还是真的想做一些改变，都在往这三个概念上靠，但我相信，绝大部分人是真的希望借着人工智能的‘好风’做出些成绩的。而这些所谓的‘高科技’对数据却又是强依赖的。 那么对数据深入了解，做到知己知彼，可以说是很有必要的。

数据中，有一种数据叫时间序列数据，是很重要的一种数据。这种数据在各行各业都占有很大的比重。目前，在金融界，时间序列的研究是最热的。没办法，人家那可是最直接的真金白银。而其他行业对此研究可就有点跟不节奏了。运维域内的数据绝大部分都是时间序列数据，而对于这些数据的挖掘是非常重要的。咱不能让人家落下。希望接下来的系列文章对大家能有所帮助。

1.时间序列分解

时间序列是按照时间次序排列的随机变量序列。如股价变动，CPU使用率波动等等。下图是某地历史上的降雨量时间序列图：（是不是感觉和你熟悉的数据样子差不多？）

任何时间序列经过合理的函数变换后，都可以被认为是由三个部分叠加而成的，即：趋势项部分，周期项部分，以及随机噪声项部分。

用公式表示：

[X_t = T_t + S_t + R_t, t = 1,2,3,... ]

其中 T是趋势项，S是周期项，R是随机项，X则是时间序列项。t代表的是时间。

研究时间序列的最主要目的当然是预测。 而从时间序列中把这三个部分分解出来是序列分析、预测的的首要任务，这一过程被称为时间序列分解（Time Series Decomposition, TSD)。

1.1 分解时间序列

趋势项是时间序列中总体的变化趋势，是缓慢的，长期的。一般先把趋势项分离出来，再依次分离周期项、随机项。其分解方式有以下几种：

1.1.1 分段常数法

这是最简单最直接的方法，比如，把股票的月均价做为股价的趋势变化。然后用时间序列减掉趋势项，剩下周期项与随机项。可再以周均值或日均值做为周期项，再减掉即剩下随机项了,也即随机项的估计了。

1.1.2回归趋势

另一种比较简单的趋势拟合即是采用线性回归。从趋势项的角度，可简单地认为时间序列与时间有简单的线性关系：

[X_t = a + bt + epsilon_t, t = 1,2,3,... ]

或者可以认为是二次曲线的趋势：

[X_t = a + bt + ct^2 + epsilon_t, t= 1,2,... ]

当然，一说到回归，选择也就多了起来，不必拘泥某一种形式，根据相关数据选择最优的模型是关键。

1.1.3 逐步平均法

可理解为在时间维度上的分段平均法。

1.2 平稳序列

可以看到，时间序列中的趋势项，以及周期项是比较容易提取的，其中应用到的知识也是比较长规，甚至可以说是简单。当剔除趋势项以及周期项，时间序列往往表现出某种平稳波动性，即平稳序列。我们之所以研究时间序列，或者说时间序列可研究，是因为我们认为时间序列数据是蕴含数据的变化信息的。基于此，我们才可以在知道历史数据时，对未来做出预测。而平稳性是要满足的一个条件。（如果不满足怎么办？那我们后面会谈到如何将非平稳的变成平稳序列。如果变不成呢？那就没辙了。

1.2.1基本概念

在讲平稳序列之前，我们先来说说基本概念：

随机变量序列({Y_t: t= 0,pm1,pm2,...}) 称为一个随机过程，并以之作为观测时间序列模型。已知该过程完整的概率结构是由所有 Y 的有限联合分布构成的分布族决定的。大家不要被其中的关于随机过程的相关名词吓到，没必要，你只要知道他是以数学的方式来描述时间序列就够了。我只需关注下面的一些概念就可以了。

对于随机过程：({Y_t: t= 0,pm1,pm2,…}) ：

1. 均值函数：

   [mu_t = E(Y_t), t= 0,pm1,pm2,… ]

   即(mu_t) 恰是过程在t时刻的期望值，一般地，不同时刻(mu_t) 可取不同的值。

2. 自协方差函数：

   [gamma_{t,s} = Cov(Y_t,Y_s), t,s = 0,pm1,pm2,… ]

   其中 (Cov(Y_t,Y_s) = E[(Y_t - mu_t)(Y_s - mu_s)] = E(Y_tY_s) - mu_tmu_s)

3. 自相关函数：

   [ ho_{t,s} = Corr(Y_t,Y_s), t,s = 0,pm1,pm2,… ]

   其中(Corr(Y_t,Y_s) = frac{Cov(Y_t,Y_s)}{sqrt{Var(Y_t)Var(Y_s)}} = frac{gamma_{t,s}}{sqrt{gamma_{t,t}gamma_{s,s}}})

从上面可以推知：

[gamma{t,s} = gamma{s,t}; ho_{t,t} = 1 ]

[gamma_{t,t} = Var(Y_t); ho_{t,s} = ho_{s,t} ]

[|gamma_{t,s} le sqrt{gamma_{t,t}gamma_{s,s}}|; | ho_{t,st} le 1| ]

上面是最最基本的概念了，大家不要被公式吓到，你能看到这篇文章，99% 说明你上过大学，这些充其量也就是高中知识，多一分钟思考，之后的概念才好理解。以后不必要的公式绝不放上来，有用的公式我一定会‘大白话’给大家解释。'冻挖瑞~'

1.2.2随机游动

令 (e_1, e_2), … 为一列独立同分布随机变量序列，简记为(e_1, e_2,dots *i.i.d*. 假定 var()e_1$) = (sigma), (Ee_1 = 0)

按下面的方式给出的序列{(X_t)：和=1, 2, …},称为随机游动（random walk):

[left. egin{aligned} X_1 & = & epsilon_1 \ X_2 & = & epsilon_1 + epsilon_2 \ &vdots& \ X_t & = & epsilon_1+epsilon_2 + dots+epsilon_t end{aligned} ight} ]

等价地，(定义(X_0)= 0)：

[X_t = X_{t-1} + epsilon_t, t = 1, 2, ... ]

即 t 时刻的变量是与（t-1）时刻有关的。

刚可以很得到下面的一些结论：

[mu_t = EX_t = E(epsilon_1 + epsilon_2 + dots + epsilon_t) = 0, t=1, 2, ... ]

[gamma_{t,s} = sum_{i = 1}^tsum_{j=1}^s cov(epsilon_i,epsilon_j) = ssigma^2, 1 le s le t ]

[ ho_{t,s} = frac{gamma_{t,s}}{sqrt{gamma_{t,t,}gamma_{s,s}}} = frac{ssigma^2}{sqrt{tsigma^2ssigma^2}} = sqrt{frac{s}{t}}, 1le sle t ]

这里也就是说，对于满足随机游动的时间序列，它的序列均值是0，方差是一个定值，t,s两时点的数据相关系数只与两者所在时间有关，而与其他无关。

下图是一个随机游动模拟的例子：

1.2.3 平稳性

接下来，我们就要了解下平稳性的概念了。平稳性可分为严平稳以及宽平稳两种：

1. 时间序列({X_t : t= 0,pm1,pm2,…,}) 称为严平稳，若其（联合）概率分布具有推移不变性。即对任意整数(sle t) 及正整数(n ge 1),随机向量((X_s,X_{s+1},…,X_{s+n})) 和((X_t,X_{t+1},...X_{t+n})) 具有相同的（联合）概率分布。通俗地说，即随便取两段相同长度的时间序列数据，’看起来‘应该差不多，没有明显区别。

如果在生产生活中碰到严平稳数据应该高兴因为它一定会很好处理，但绝大部分都不符合严平稳的性质。但我们会经常碰到宽平稳数据：

1. 时间序列({X_t : t= 0,pm1,pm2,…,}) 称为宽平稳：若其满足如下3条：

• (EX_t^2 le infty, t=0,pm1,pm2,...)
• 均值函数为常数，$mu_t = EX_t =c, t = 0,pm1,pm2,... $
• 自协方差函数(gamma_{t,s}) 只依赖于时间间隔（t-s) (等价地 ( s-t ) )，即：(gamma_{t,s} = gamma_{s,t}, t,s = 0,pm1,pm2,...)

以后指的平稳性，如无特指，即指的是宽平稳。

1.2.4 两类重要的平稳时间序列

1. 白噪声

   设时间序列({epsilon_t: t = 0,pm1,pm2,dots}) 满足：

   [Eepsilon_t = 0, cov(epsilon_t,epsilon_s) = left{ egin{aligned} sigma^2, qquad t = s && \ && t,s = 0,pm1,pm2,dots \ 0 , qquad t e t && \ end{aligned} ight. ]

   则称({epsilon_t} ={epsilon_t: t = 0,pm1,pm2,...}) 为白噪声，简记为：({epsilon_t}sim WN(0,sigma^2)).

   可知对于白噪声：

   [gamma_k = left{egin{aligned} sigma^2, quad k = 0 &&\ && k = 0,pm1,pm2,...\ 0, quad k e 0. &&\ end{aligned} ight.​ ]

[ ho_k = left{egin{aligned} 1, quad k = 0 &&\ && k = 0,pm1,pm2,...\ 0, quad k e 0. &&\ end{aligned} ight. ]

白噪声的结构相对简单，但却是非常重要的，因为它是后面要讲的众多重要模型或序列的‘生成元’。

1. 随机余弦波：

   这个也是一个重要的平稳时间序列，但可能后面很多讲都见不到，等见到，咱再讲也不迟。

1.3 总结

作为第一讲，我们从整体上了解了什么是时间序列，也讲了很多概念，更用了很多公式，这些是时间序列最最基本的东西，是后面的知识的基础，大家一定把这里的东西‘吃透’，那后面的知识就会比较轻松。

1.4 参考文献：

PS: 接下来基本上都是以下列文献作为参考文献，所以后面将不再罗列出来，除非新加入的文献，请知悉。

1: 何书元. 应用时间序列分析 北京：北京大学出版社，2003

2: Peter J. Brockwell, Rechard A. Davis 著， 田铮等译. 时间序列的理论与方法（第二版）.北京：高等教育出版社，2001

3: Jonathon D. Cryer, Kung-Sik Chan 著，潘红宇等译.时间序列分析及应用：R语言（原书第二版）.北京： 机械工业出版社，2011

4: Walter Enders 著，杜江；谢志超译. 应用计量经济学：时间序列分析（第二版）.北京：高等教育出版社，2006.

5: Ruey S. Tsay 著，王远林等译.金融时间序列分析（第三版）北京：人民邮电出版社，2012.