转自：http://www.cppblog.com/superKiki/archive/2010/05/15/115421.html
一、后缀数组的实现
本节主要介绍后缀数组的两种实现方法：倍增算法（Doubling Algorithm）和DC3算法（Difference Cover），并对两种算法进行了比较。可能有的读者会认为这两种算法难以理解，即使理解了也难以用程序实现。本节针对这个问题，在介绍这两种算法的基础上，还给出了简洁高效的代码。其中倍增算法只有25行，DC3算法只有40行。
1.1、基本定义
子串：字符串S的子串r[i..j]，i≤j，表示r串中从i到j这一段，也就是顺次排列r[i]，r[i+1]，...，r[j]形成的字符串。
后缀：后缀是指从某个位置i开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。字符串r的从第i个字符开始的后缀表示为Suffix(i)，也就是Suffix(i)=r[i..len(r)]。
大小比较：关于字符串的大小比较，是指通常所说的“字典顺序”比较，也就是对于两个字符串u、v，令i从1开始顺次比较u[i]和v[i]，如果u[i]=v[i]则令i加1，否则若u[i]<v[i]则认为u<v，u[i]>v[i]则认为u>v（也就是v<u），比较结束。如果i>len(u)或者 i>len(v)仍比较不出结果，那么若len(u)<len(v)则认为u<v，若 len(u)=len(v)则认为u=v，若len(u)>len(v)则 u>v。
从字符串的大小比较的定义来看，S的两个开头位置不同的后缀 u和v进行比较的结果不可能是相等，因为 u=v的必要条件len(u)=len(v)在这里不可能满足。
后缀数组：后缀数组SA是一个一维数组，它保存1..n的某个排列SA[1]，SA[2]，……，SA[n]，并且保证 Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])，1≤i<n。也就是将S的n个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA中。
名次数组：名次数组Rank[i]保存的是Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次”。
简单的说，后缀数组是“排第几的是谁？”，名次数组是“你排第几？”。容易看出，后缀数组和名次数组为互逆运算。
设字符串的长度为n。为了方便比较大小，可以在字符串后面添加一个字符，这个字符没有在前面的字符中出现过，而且比前面的字符都要小。在求出名次数组后，可以仅用O(1)的时间比较任意两个后缀的大小。在求出后缀数组或名次数组中的其中一个以后，便可以用O(n)的时间求出另外一个。任意两个后缀如果直接比较大小，最多需要比较字符n次，也就是说最迟在比较第n个字符时一定能分出“胜负”。
1.2、倍增算法
倍增算法的主要思路是：用倍增的方法对每个字符开始的长度为2k的子字符串进行排序，求出排名，即rank值。k从0开始，每次加1，当2k大于n以后，每个字符开始的长度为2k的子字符串便相当于所有的后缀。并且这些子字符串都一定已经比较出大小，即rank值中没有相同的值，那么此时的rank值就是最后的结果。每一次排序都利用上次长度为2k-1的字符串的rank值，那么长度为2k的字符串就可以用两个长度为2k-1的字符串的排名作为关键字表示，然后进行基数排序，便得出了长度为2k的字符串的rank值。以字符串“aabaaaab”为例，整个过程如图2所示。其中x、y是表示长度为2k的字符串的两个关键字。
1.3、DC3算法
DC3算法分3步：
（1）、先将后缀分成两部分，然后对第一部分的后缀排序。
将后缀分成两部分，第一部分是后缀k（k模3不等于0），第二部分是后缀k（k模3等于0）。先对所有起始位置模3不等于0的后缀进行排序，即对suffix(1)，suffix(2)，suffix(4)，suffix(5)，suffix(7)……进行排序。做法是将suffix(1)和suffix(2)连接，如果这两个后缀的长度不是3的倍数，那先各自在末尾添0使得长度都变成3的倍数。然后每3个字符为一组，进行基数排序，将每组字符“合并”成一个新的字符。然后用递归的方法求这个新的字符串的后缀数组。如图3所示。在得到新的字符串的sa后，便可以计算出原字符串所有起始位置模3不等于0的后缀的sa。要注意的是，原字符串必须以一个最小的且前面没有出现过的字符结尾，这样才能保证结果正确（请读者思考为什么）。
（2）、利用（1）的结果，对第二部分的后缀排序。
剩下的后缀是起始位置模3等于0的后缀，而这些后缀都可以看成是一个字符加上一个在（1）中已经求出 rank的后缀，所以只要一次基数排序便可以求出剩下的后缀的sa。
（3）、将（1）和（2）的结果合并，即完成对所有后缀排序。
这个合并操作跟合并排序中的合并操作一样。每次需要比较两个后缀的大小。分两种情况考虑，第一种情况是suffix(3*i)和suffix(3*j+1)的比较，可以把suffix(3*i)和suffix(3*j+1)表示成：
suffix(3*i) = r[3*i] + suffix(3*i+1)
suffix(3*j+1) = r[3*j+1] + suffix(3*j+2)
其中 suffix(3*i+1)和 suffix(3*j+2)的比较可以利用（2）的结果快速得到。第二种情况是 suffix(3*i)和 suffix(3*j+2)的比较，可以把 suffix(3*i)和suffix(3*j+2)表示成：
suffix(3*i) = r[3*i] + r[3*i+1] + suffix(3*i+2)
suffix(3*j+2) = r[3*j+2] + r[3*j+3] + suffix(3*(j+1)+1)
同样的道理，suffix(3*i+2)和 suffix(3*(j+1)+1)的比较可以利用（2）的结果快速得到。所以每次的比较都可以高效的完成，这也是之前要每 3个字符合并，而不是每 2个字符合并的原因。