1.排列与组合
1.1 排列
1.2 组合
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)
1.3 二项式定理
(a+b)^n=ΣC(n,i)a^i*b^n-i
例1.1组合数
题目来源：洛谷3414
快速幂
1.4四种放球方法
1）n个不同球放入m个不同袋子 m^n
2）n个相同球放入m个不同袋子 隔板法 C(n+m-1,m-1)
3）n个相同球放入m个相同袋子 用球数目递增判重 f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1]
4）n个不同球放入m个相同袋子 f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*j
其中(1)(2)袋子不同，可以直接用计数方法解决
(3)(4)袋子是相同的，可以互相交换，只能用dp解决
2.计数原理
2.1 抽屉原理
2.2 加法原理
2.3 乘法原理
2.4 容斥原理
记f(S)表示满足集合S中至少一个条件的方案数，g(S)表示满足集合S中所有条件的方案数，h(S)表示不满足集合S中所有条件的方案数。
f(S)=Σ(-1)|T|-1g(T)，其中T为S的非空子集。
通俗地说就是先把满足一个条件的都加上，这时候满足两个条件的被加了两次，所以要减掉一次，然后满足三个条件的被减成0次了，要加上一次…... 还有另一种形式。
求并集可以转化为求交集
并则求交
g(S)=Σ(-1)|T|h(T)，其中T为S的子集。
通俗地说就是先加上所有方案，然后扣掉不满足一个条件的方案，这时候不满足两个条件的被扣了两次，所以要加上一次，然后不满足三个条件的被加回1次了，所以要扣掉一次……
求交集可以转化为求补集
交则求补
例4.1
对一个n*m的棋盘染色，每格可以是黑色或白色。
要求每行每列都有黑格。
求方案数对10^9+7取模的结果。 n,m<=10^3。
需要满足的条件是第1行、第2行…第n行、第1列、第2列…第m列都有黑格。
用容斥原理转化为枚举其中一些条件不满足，也就是有一些行一些列全是白格。
枚举行数i和列数j，那么选出i行j列的方案数是C(n,i)C(m,j)，这i行j列全是白格的方案数是2^(n-i)(m-j)。
所以答案就是Σ(-1)^(i+j)*C(n,i)C(m,j)2^(n-i)(m-j)。 时间复杂度O(nm)
例4.2
对一个n*m的棋盘染色，每格可以是黑色或白色。
要求存在一行或一列都是黑格。
求方案数对10^9+7取模的结果。 n,m<=10^3。
需要满足的条件是第1行、第2行…第n行、第1列、第2列…第m列其中之一都是黑格。
用容斥原理转化为枚举其中一些(至少一个)条件都满足，也就是有一些行一些列全是黑格。
枚举行数i和列数j，那么选出i行j列的方案数是C(n,i)C(m,j)，这i行j列全是白格的方案数是2(n-i)(m-j)。
所以答案就是Σ(-1)i+j-1C(n,i)C(m,j)2(n-i)(m-j)。 时间复杂度O(nm)
上面两个问题其实是互补的。
容斥出来的式子也是互补的。
其实那两个容斥的式子就是互补的。
例4.3
对一个n*m的棋盘染色，每格可以是黑色或白色。
要求存在一行和一列都是黑格。
求方案数对10^9+7取模的结果。 n,m<=10^3。
需要满足的条件是：
（A）第1行、第2行…第n行其中之一都是黑格。
（B）第1列、第2列…第m列其中之一都是黑格。
先对A用容斥原理，答案变为Σ(-1)i-1C(n,i)*有i行都是黑格且满足B的方案数。
再对B用容斥原理，答案变为Σ(-1)i-1C(n,i)*Σ(-1)j-1C(m,j)*有i行j列都是黑格的方案数。
化简一下就是Σ(-1)i+jC(n,i)C(m,j)2(n-i)(m-j)，其中i,j>=1。 时间复杂度O(nm)
3.概率与期望
3.1 概率的一些性质
如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
如果事件A和事件B是相互独立的， 那么P(A∩B)=P(A)*P(B)，P(A|B)=P(A)。
全概率公式：P(A)=ΣP(A|B=bi)*P(B=bi)。
贝叶斯公式：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)
3.2 期望的一些性质
如果事件A和事件B是相互独立的， 那么E(AB)=E(A)*E(B)。
全期望公式：E(A)=ΣE(A|B=bi)*P(B=bi)。
期望的线性性：E(A+B)=E(A)+E(B)。
例3.1 百事世界杯之旅
每次从[1,n]中随机一个整数，问期望随机多少次可以把1~n都随机到。 1<=n<=10^6。
如果已经随机出了k个数，那么期望多少次可以随机出一个新的数呢？
随机出新的数的概率是(n-k)/n。 记x=(n-k)/n，那么期望就是1+(1-x)+(1-x)^2+……=1/(1-(1-x))=n/(n-k)。
那么答案就是n/1+n/2+…+n/n。 时间复杂度O(n)
例3.2 巧克力
有k种颜色的巧克力。每次拿出一个随机颜色的巧克力放到桌上，如果桌上有2个巧克力颜色一样就把它们一起吃掉。
问拿出n个巧克力后桌上恰好有m个巧克力的概率。 1<=n,m<=10^8，1<=k<=100。
用f[i][j]表示i轮之后桌上有j个巧克力的概率。
f[i][j]=f[i-1][j-1]*(k-(j-1))/k+f[i-1][j+1]*(j+1)/k。
打表发现i的奇偶性确定时f[i][j]是收敛的。 i只要枚举到1000就好了。 时间复杂度O(1000*k)
例3.3 骰子
小A有一个骰子，这个骰子有n面，扔出i的概率是pi。
他扔一次骰子，如果扔到i，那么他有qi的概率吃一颗巧克力。
现在你看到他吃了一棵巧克力，问他扔出每个数字的概率。 1<=n<=100。
贝叶斯公式：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)
4.复杂度分析
5.一些水题
5.1 越狱
正难则反
5.2 妖梦拼木棒
题目来源：洛谷3799
巧妙枚举
5.3 牛的IDCow IDs
题目来源：洛谷3048
用组合数巧妙处理
5.4 错位排列
递推或容斥
5.5 硬币购物
题目来源：洛谷1450
预处理+容斥
5.6 RedIsGood
期望dp