2020-09-22：已知两个数的最大公约数和最小公倍数，并且这两个数不能是最大公约数和最小公倍数本身。如何判断这两个数是否存在？

福哥答案2020-09-22：#福大大架构师每日一题#

1.如果最小公倍数不能被最大公约数整除，不存在这两个数。
2.求【商】=【最小公倍数/最大公约数】。
3.判断【商】是否是质数，如果是，直接返回false。这个步骤可以不要。
4.幂次方缩小【商】范围，如果【商】是a的b次方，【商】变成a。
5.判断【商】是否是质数，如果是，直接返回false。
6.经过所有考验，返回true。

代码用python语言编写。代码如下：

# -*-coding:utf-8-*-

import math


# 求快速幂。ret = a^b%p。
def quick_power(a, b, p):
    """
    求快速幂。ret = a^b%p。

    Args:
        a: 底数。大于等于0并且是整数。
        b: 指数。大于等于0并且是整数。
        p: 模数。大于0并且是整数。

    Returns:
        返回结果。

    Raises:
        IOError: 无错误。
    """
    a = a % p
    ans = 1
    while b != 0:
        if b & 1:
            ans = (ans * a) % p
        b >>= 1
        a = (a * a) % p
    return ans


# 求num的exp开方,exp是指数，num是结果。求底数。
def _get_sqrt_range(num, right, exp=2):
    """
        求num的exp开方,exp是指数，num是结果。求底数。
        Args:
            num: 大于等于0并且是整数。
            right: 大于等于0并且是整数。右边界。
            exp: 大于等于0并且是整数。
        Returns:
            返回元组，表示一个开方范围。
        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    left = 1
    if num == 0:
        return 0, 0
    if num == 1:
        return 1, 1
    if num == 2 or num == 3:
        return 1, 2
    while True:
        mid = (left + right) // 2
        if mid ** exp > num:
            right = mid
            if left ** exp == num:
                return left, left
            if left + 1 == right:
                return left, right
        elif mid ** exp < num:
            left = mid
            if right ** exp == num:
                return right, right
            if left + 1 == right:
                return left, right
            if mid == 1:
                return 1, 2
        else:
            return mid, mid


# 求对数范围
def get_log_range(num, basenum):
    """
        求对数范围。

        Args:
            num: 数，大于等于1并且是整数。
            basenum: 底数，大于等于2并且是整数。

        Returns:
            返回结果。对数范围。

        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    if num == 1:
        return 0, 0
    else:
        n = 0
        ism = 0
        while num >= basenum:
            if ism == 0 and num % basenum != 0:
                ism = 1
            n += 1
            num //= basenum
        return n, n + ism


# 判断幂次方，并且返回底数
def is_power2(num):
    """
        判断n是否是一个数的幂次方形式。
        Args:
            num: 大于等于0并且是整数。
        Returns:
            返回结果。true是幂数
        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    if num <= 3:
        return False, 0
    else:
        log_range = get_log_range(num, 2)
        if log_range[0] == log_range[1]:
            return True, 2
        expmax = log_range[0]
        expmin = 2
        exp = expmin
        sqrt = 0
        right = 2 ** (1 + log_range[0] // 2)
        while exp <= expmax:
            sqrt = _get_sqrt_range(num, right, exp)
            right = sqrt[0]  # 缩小右边界范围
            if sqrt[0] == sqrt[1]:
                return True, sqrt[0]
            if sqrt == (1, 2):
                return False, 0
            exp += 1
        return False, 0


# 米勒-拉宾素性检验是一种概率算法，但是，Jim Sinclair发现了一组数：2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022。用它们做 [公式] ， [公式] 以内不会出错，我们使用这组数，就不用担心运气太差了。
def is_prime_miller_rabin(num):
    """
        判断是否是素数。米勒拉宾素性检验是一种概率算法 可能会把合数误判为质数。

        Args:
            num: 大于等于2并且是整数。

        Returns:
            返回结果。true为素数；false是非素数。

        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    # num=(2^s)*t
    a = 2  # 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022
    s = 0
    t = num - 1
    num_1 = t
    if num == 2:
        return True
    if not (num % 2):
        return False
    while not (t & 1):
        t >>= 1
        s += 1
    k = quick_power(a, t, num)
    if k == 1:
        return True
    j = 0
    while j < s:
        if k == num_1:
            return True
        j += 1
        k = k * k % num
    return False


# 综合法
def is_prime_comprehensive(num):
    """
        判断是否是素数。综合算法:试除法+米勒拉宾素性检验 可能会把合数误判为质数。

        Args:
            num: 大于等于2并且是整数。

        Returns:
            返回结果。true为素数；false是非素数。

        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    if num <= 1:
        return False
    if num == 2:
        return True
    if num & 1 == 0:
        return False

    # 100以内的质数表
    primeList = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

    # 质数表是否能整除
    for prime in primeList:
        if num == prime:
            return True
        if num % prime:
            if prime * prime >= num:
                return True
        else:
            return False

    # 米勒拉宾素性检验
    return is_prime_miller_rabin(num)


# 已知两个数的最大公约数和最小公倍数，并且这两个数不能是最大公约数和最小公倍数本身。如何判断这两个数是否存在？
def is_exist_two_nums_by_gcd_lcm_not(gcd, lcm):
    """
        已知两个数的最大公约数和最小公倍数，并且这两个数不能是最大公约数和最小公倍数本身。如何判断这两个数是否存在？
        Args:
            gcd: 大于等于1并且是整数。最大公约数。
            lcm: 大于等于1并且是整数。最小公倍数。
        Returns:
            返回True，说明存在。
        Raises:
            IOError: 无错误。
    """
    # 1.如果最小公倍数不能被最大公约数整除，不存在这两个数。
    if lcm % gcd != 0:
        return False

    # 2.求【商】=【最小公倍数/最大公约数】。
    quotient = lcm // gcd

    # 3.判断【商】是否是质数，如果是，直接返回false。这个步骤可以不要。
    if is_prime_comprehensive(quotient):
        return False

    # 4.幂次方缩小【商】范围，如果【商】是a的b次方，【商】变成a。
    isloop = True
    quotienttemp = 0
    while isloop:
        isloop, quotienttemp = is_power2(quotient)
        if isloop:
            quotient = quotienttemp

    # 5.判断【商】是否是质数，如果是，直接返回false。
    if is_prime_comprehensive(quotient):
        return False

    # 6.经过所有考验，返回true。
    return True


if __name__ == "__main__":
    gcd = 5
    lcm = 35
    print("gcd = ", gcd, ",lcm = ", lcm, ",", is_exist_two_nums_by_gcd_lcm_not(gcd, lcm))
    gcd = 5
    lcm = 20
    print("gcd = ", gcd, ",lcm = ", lcm, ",", is_exist_two_nums_by_gcd_lcm_not(gcd, lcm))
    gcd = 3
    lcm = 60
    print("gcd = ", gcd, ",lcm = ", lcm, ",", is_exist_two_nums_by_gcd_lcm_not(gcd, lcm))

代码结果执行如下：

***
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