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  • 2020-10-05:如何求模平方根?

    福哥答案2020-10-05:#福大大架构师每日一题#

    简单回答:
    y*y=x mod p,已知x,p并且互质,求y。
    1.判断是否存在模平方根。
    1.1.欧拉判别法。有代码。
    x**[(p-1)/2]%p==1。
    1.2.高斯二次互反律。无代码。
    2.Tonelli–Shanks算法。有代码。

    代码用python编写,代码如下:

    # -*-coding:utf-8-*-
    
    def quick_power(a, b, p):
        """
        求快速幂。ret = a^b%p。
    
        Args:
            a: 底数。大于等于0并且是整数。
            b: 指数。大于等于0并且是整数。
            p: 模数。大于0并且是整数。
    
        Returns:
            返回结果。
    
        Raises:
            IOError: 无错误。
        """
        a = a % p
        ans = 1
        while b != 0:
            if b & 1:
                ans = (ans * a) % p
            b >>= 1
            a = (a * a) % p
        return ans
    
    
    def is_have_sqrt_model(x, p):
        """
            是否有模平方根y*y=x mod p,已知x,p,判断是否存在y
    
            Args:
                x: 大于0并且小于p的整数。
                p: 质数。
    
            Returns:
                返回结果,true表示有模平方根;false表示没有模平方根。
    
            Raises:
                IOError: 无错误。
        """
        ret = quick_power(x, (p - 1) // 2, p)
        if ret == 1:
            return True
        else:
            return False
    
    
    def get_sqrt_model(x, p):
        """
            求模平方根y*y=x mod p,已知x,p求y
    
            Args:
                x: 大于0并且小于p的整数。
                p: 质数。
    
            Returns:
                返回结果y。
    
            Raises:
                IOError: 无错误。
        """
        if is_have_sqrt_model(x, p):
            t = 0
            # p-1=(2^t)*s //s是奇数
            s = p - 1
            while s % 2 == 0:
                s = s // 2
                t = t + 1
            if t == 1:
                ret = quick_power(x, (s + 1) // 2, p)
                return ret, p - ret
            elif t >= 2:
                x_ = quick_power(x, p - 2, p)
                n = 1
                while is_have_sqrt_model(n, p):
                    n = n + 1
                b = quick_power(n, s, p)
                ret = quick_power(x, (s + 1) // 2, p)
                t_ = 0
                while t - 1 > 0:
                    if quick_power(x_ * ret * ret, 2 ** (t - 2), p) == 1:
                        pass
                    else:
                        ret = ret * (b ** (2 ** t_)) % p
                    t = t - 1
                    t_ = t_ + 1
                return ret, p - ret
            else:
                return -2, -2
        else:
            return -1, -1
    
    
    if __name__ == "__main__":
        print(is_have_sqrt_model(55, 103))
        print(get_sqrt_model(55, 103))
        print("---------------")
        print(is_have_sqrt_model(186, 401))
        print(get_sqrt_model(186, 401))
    

      

    执行结果如下:

    ***
    [评论](https://user.qzone.qq.com/3182319461/blog/1601854022)

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