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最速下降法(又称梯度法,或Steepest Descent),是无约束最优化领域中最简单的算法,单独就这种算法来看,属于早就“过时”了的一种算法。但是,它的理念是其他某些算法的组成部分,或者说是在其他某些算法中,也有最速下降法的“影子”。因此,我们还是有必要学习一下的。
我很久以前已经写过一篇关于最速下降法的文章了,但是这里我还打算再写一篇,提供更多一些信息,让大家可以从更简单生动的方面去理解它。
『1』名字释义
最速下降法只使用目标函数的一阶导数信息——从“梯度法”这个名字也可见一斑。并且,它的本意是取目标函数值“最快下降”的方向作为搜索方向。于是我们就想知道这个问题的答案:沿什么方向,目标函数
『2』函数值下降最快的方向
先说结论:沿负梯度方向
下面就来推导一下。
将目标函数
高阶无穷小
但是
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由Cauchy-Schwartz不等式(柯西-许瓦兹不等式)可得:
当且仅当
所以
所以
『3』缺点
它真的“最快速”吗?答案是否定的。
事实是,它只在局部范围内具有“最速”性质。
对整体求解过程而言,它的下降非常缓慢。
『4』感受一下它是如何“慢”的
先来看一幅图(直接从维基百科上弄过来的,感谢Wiki):
![](http://www.codelast.com/wp-content/uploads/ckfinder/images/Rosenbrock_function.png)
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这幅图表示的是对一个目标函数的寻优过程,图中锯齿状的路线就是寻优路线在二维平面上的投影。
这个函数的表达式是:
它叫做Rosenbrock function(罗森布罗克方程),是个非凸函数,在最优化领域,它通常被用来作为一个最优化算法的performance test函数。
我们来看一看它在三维空间中的图形:
![Rosenbrock function 3D](http://www.codelast.com/wp-content/uploads/ckfinder/images/Rosenbrock_function_3d.jpg)
![](http://www.codelast.com/wp-content/uploads/ckfinder/images/function_find_opt_process.jpg)
它在三维空间中的图形是这样的:
![](http://www.codelast.com/wp-content/uploads/ckfinder/images/function_find_opt_process_3d.jpg)
『5』为什么“慢”的分析
上面花花绿绿的图确实很好看,我们看到了那些寻优过程有多么“惨烈”——太艰辛了不是么?
但不能光看热闹,还要分析一下——为什么会这样呢?
由精确line search满足的一阶必要条件,得:
故由最速下降法的
即:相邻两次的搜索方向是相互直交的(投影到二维平面上,就是锯齿形状了)。
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如果你非要问,为什么
由两向量夹角的公式:
![](http://www.codelast.com/wp-content/uploads/ckfinder/images/two_vector_angle.png)
=>
两向量夹角为90度,因此它们直交。
『6』优点
这个被我们说得一无是处的最速下降法真的就那么糟糕吗?其实它还是有优点的:程序简单,计算量小;并且对初始点没有特别的要求;此外,许多算法的初始/再开始方向都是最速下降方向(即负梯度方向)。
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『7』收敛性及收敛速度
最速下降法具有整体收敛性——对初始点没有特殊要求。
采用精确线搜索的最速下降法的收敛速度:线性。