PAM / 回文自动机（回文树）略解

回文自动机可以处理一个字符串的回文子串的信息，复杂度为 (O(n))。

参考资料：翁文涛 《回文树及其应用》

结构

回文自动机的每个节点代表一个回文子串，本质相同的回文子串在一个节点上。记节点 (i) 代表的回文串为 (s_i)（实现时不用记录），长度为 (len_i)。

回文自动机的结构可以看成两棵树，它们的根分别为 (even) 和 (odd)，(even) 对应空回文串，(odd) 对应长度为 (-1) 的，实际上并不存在的回文串。

树上的一条边，也就是自动机的转移边对应一个字符。若 (i) 到 (j) 有一条对应字符 (c) 的转移边，则 (s_j=cs_ic)，即在字符串前后各加一个 (c)。特别的，(odd) 经过一条边后得到单个字符。

与其它自动机类似，回文自动机的节点也有 (fail) 指针（失配指针 / 后缀链接），它指向这个节点最长的、不是自身的后缀回文串。特别的，(fail_{even}=odd)。通常记 (fail_{odd}=odd)，虽然 (odd) 节点不可能失配（添加一个字符后成为单个字符，它一定是回文的）。

(fail) 指针显然构成一棵 (fail) 树。

下图来自于翁文涛的论文《回文树及其应用》。

节点数和转移数

显然，若字符串 (s) 有 (n) 个本质不同的回文子串，状态数为 (n+2)。于是分析节点数即分析 (s) 本质不同的回文子串个数。下面是论文中的证明方法：

定理 3.1 对于一个字符串 (s)，不同的回文子串个数最多只有 (|s|) 个。

证明 . 使用数学归纳法。

• 当 (|s|=1)时，只有 (s[1dots 1]) 一个子串，并且他是回文的，所以结论成立。
• 当 (|s| > 1) 时，设 (s = s'c)，其中 (c) 为 (s) 的最后一个字符，并且结论对 (s') 成立。考虑以末尾字符 (c) 为结尾的回文子串，假设他们的左端点从左到右依次为 (l_1,l_2,dots,l_k)，那么由于(s[l_1dots |s|]) 为回文串，那么对于所有的位置 (l_1 leq p leq |s|)，都会有 (s[pdots|s|] = s[l_1dots l_1+|s|-p])，所以对于回文子串(s[l_idots |s|])，都会有 (s[l_idots |s|]=s[l_1dots l_1+|s|-l_i])，当 (i eq 1) 时，总会有(l_1+|s|-l_i <|s|)，从而 (s[l_idots |s|]) 已经在 (s[1dots|s|-1]) 中出现，因此每次不同的回文串最多新增一个，即 (s[l_idots |s|])。因此结论对于 (s) 依然成立。

由数学归纳法可知定理 3.1 成立。

翻译一下就是：假如有多个以 (c) 结尾的回文子串，较短的那些肯定在最长的那个里面出现过至少一次。

因此状态数是 (O(|s|)) 的。由于每个状态只会有一个转移通向它、每个状态只会有一个 (fail)，因此转移数也是 (O(|s|)) 的。

构造

使用增量法。记录目前所在的节点 (cur) 指向目前字符串的最长回文后缀，初始值为 (even)。考虑新加入第 (p) 个字符 (c)，显然由定理 3.1 可得，最多新增 1 个状态。我们反复跳 (fail) 来找到 (s[p]=s[p-len_i-1])，即该回文串再往前一个字符与新加的字符相等，显然最多跳到 (odd) 就找到了。假如找到的节点 (x) 没有对应的儿子 (y)，新建一个节点：

• (len_y=len_x+2)；
• 从 (fail_x) 开始往上跳，找到 (fail_y)。

将 (cur) 设为 (y)，然后添加下一个字符。

由于 (cur) 的深度每次至多 (+1)，因此时间复杂度是 (O(|s|)) 的（忽略字符集大小）。

性质

• 本质不同的回文串数量等于回文自动机的节点数 (-2)；
• 一个回文串出现的次数等于以之为根的子树的各节点作为 (cur) 的次数之和；
• 当前字符串的回文后缀的数量等于 (cur) 的深度；
• 位置不同的回文串的数量等于各个节点（除 (even) 和 (odd)）对应的回文串出现的次数之和；
  • 或者是在每加入一个字符后累加当前字符串的回文后缀的数量。

模板题：洛谷 P5496 【模板】回文自动机（PAM）

代码：

/**********
Author: WLBKR5
Problem: luogu 5496
Name: 回文自动机 
Source: 模板 
Algorithm: 回文自动机 
Date: 2020/06/05
Statue: accepted
Submission: https://www.luogu.com.cn/record/34145336
**********/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getint(){
    int ans=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){
        if(c=='-')f=-1;
        c=getchar();
	}
    while(c>='0'&&c<='9'){
        ans=ans*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return ans*f;
}
const int N=5e5+10;
const int rt_1=1,rt0=0;
int ch[N][26],fail[N],cnt=2,cur=rt0;
int len[N],sz[N];
char s[N]; 
void init(){
	len[rt_1]=-1;	fail[rt_1]=0;	//sz[rt_1]=1;
	len[rt0]=0;		fail[rt0]=rt_1;	//sz[rt0]=1;
}
void extend(int pos,char c){
	int p=cur;
	while(s[pos-len[p]-1]!=c)p=fail[p];
	if(!ch[p][c-'a']){
		int t=cnt++;
		len[t]=len[p]+2;
		fail[t]=fail[p];
		while(s[pos-len[fail[t]]-1]!=c)fail[t]=fail[fail[t]];
		fail[t]=ch[fail[t]][c-'a'];
		sz[t]=sz[fail[t]]+1;
		ch[p][c-'a']=t;
	}
	cur=ch[p][c-'a'];
}
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	int n=strlen(s+1);
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		extend(i,s[i]);
		printf("%d ",sz[cur]);
		s[i+1]=(s[i+1]-97+sz[cur])%26+97;
	}
	return 0;
}

在开头插入字符

假如要求支持在字符串开头、结尾插入字符（LOJ #141.回文子串），一个简单的想法是维护 (cur') 与 (fail')，分别代表当前字符串的最长回文前缀和各个节点的最长回文前缀。

考虑到回文串正着看、反着看都一样，实际上回文串的最长回文前缀，也就是其最长回文后缀。所以 (fail'=fail)，只维护 (fail) 即可。

在末尾（开头）插入字符时，只有整个串成=成为了一个回文串，(cur')（(cur)）才会受影响。特殊处理这种情况。

模板题：LOJ #141.回文子串

代码：

/**********
Author: WLBKR5
Problem: loj 141
Name: 回文子串 
Source: 模板 
Algorithm: 回文自动机 
Date: 2020/06/06
Statue: accepted
Submission: loj.ac/submission/826336
********/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getint(){
    int ans=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){
        if(c=='-')f=-1;
        c=getchar();
	}
    while(c>='0'&&c<='9'){
        ans=ans*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return ans*f;
}
const int N=4e5+10;
const int rt_1=1,rt0=0;
int ch[N][26],fail[N],cnt=2,cur=rt0,ruc=cur;
int len[N],sz[N];
char s[N<<1];
char tmp[N];
int l=N,r=N-1; 
void init(){
	len[rt_1]=-1;	fail[rt_1]=0;	//sz[rt_1]=1;
	len[rt0]=0;		fail[rt0]=rt_1;	//sz[rt0]=1;
}
long long ans=0;
void push_back(char c){
	s[++r]=c;
	int p=cur;
	while(s[r-len[p]-1]!=c)p=fail[p];
	if(!ch[p][c-'a']){
		int t=cnt++;
		len[t]=len[p]+2;
		fail[t]=fail[p];
		while(s[r-len[fail[t]]-1]!=c)fail[t]=fail[fail[t]];
		fail[t]=ch[fail[t]][c-'a'];
		sz[t]=sz[fail[t]]+1;
		ch[p][c-'a']=t;
	}
	cur=ch[p][c-'a'];
	if(len[cur]==r-l+1)ruc=cur;
	ans+=sz[cur];
}
void push_front(char c){
	s[--l]=c;
	int p=ruc;
	while(s[l+len[p]+1]!=c)p=fail[p];
	if(!ch[p][c-'a']){
		int t=cnt++;
		len[t]=len[p]+2;
		fail[t]=fail[p];
		while(s[l+len[fail[t]]+1]!=c)fail[t]=fail[fail[t]];
		fail[t]=ch[fail[t]][c-'a'];
		sz[t]=sz[fail[t]]+1;
		ch[p][c-'a']=t;
	}
	ruc=ch[p][c-'a'];
	if(len[ruc]==r-l+1)cur=ruc;
	ans+=sz[ruc];
}
int main(){
	scanf("%s",tmp+1);
	int n=strlen(tmp+1);
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++)push_back(tmp[i]);
	int q=getint();
	while(q--){
		int op=getint();
		if(op<=2){
			scanf("%s",tmp+1);
			int n=strlen(tmp+1);
			for(int i=1;i<=n;i++)(op==1?push_back:push_front)(tmp[i]);
		}
		if(op==3){
			printf("%lld
",ans);
		}
	}
	return 0;
}

更高深的技术（如支持删除字符、可持久化 etc.）就不写了（其实是看不懂）。