【题解】[HDU 5382] GCD?LCM【莫比乌斯反演 差分 线性筛】

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题意

[egin{aligned} F(n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}[operatorname{lcm}(i,j)+gcd(i,j)geq n]\ S(n)=sum_{i=1}^{n}F(i) end{aligned} ]

求 (S(n))，(nleq 10^6)，多次询问。

题解

考虑先直接求出所有 (F)，然后就能 (O(1)) 回答所有询问。

将 (F) 差分得到 (F(n+1)-F(n)=2n+1-sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)+operatorname{lcm}(i,j)=n])，设 (G(n)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)+operatorname{lcm}(i,j)=n])：

[egin{aligned} G(n)=&sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)+operatorname{lcm}(i,j)=n]\ =&sum_{d=1}^{n}sum_{i=1}^{n /d}sum_{j=1}^{n /d}[iot j][d(ij+1)=n]\ =&sum_{d|n}sum_{i,j}[ij=dfrac{n}{d}-1][iot j] end{aligned} ]

令 (t(n)=sum_{i,j}[ij=n][iot j])，只有将 (n) 的一种质因子整个分给 (i) 或 (j) 才对 (t(n)) 有贡献。故 (t(prod_{i=1}^k p_i^{q_i})(q_igeq 1)=2^k) 可以线性筛。(t(n)) 会贡献给 (n) 的倍数的位置，调和级数处理。之后的计算就都是 trivial 的了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getint(){
    int ans=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
        c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9'){
        ans=ans*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return ans;
}
const int N=1e6+10,mod=258280327;
bool boo[N];
int pri[N],cnt=0,f[N];
int g[N],ans[N];

int main(){
    int n=1e6;
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!boo[i])pri[cnt++]=i,f[i]=2;
        for(int j=0;j<cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
            boo[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j])f[i*pri[j]]=f[i]*2;
            else{
                f[i*pri[j]]=f[i];
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j+=i+1)
            g[j]=(g[j]+f[i])%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=(ans[i-1]+2ll*i-1-g[i-1])%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=(ans[i-1]+ans[i])%mod;
    int T=getint();
    while(T--){
        int n=getint();
        printf("%d
",(ans[n]+mod)%mod);
    }
}