组合意义证明——「Zeilberger 老爷子的 T 恤上写了啥？」

[sum_kdbinom{n}{k}^2dbinom{3n+k}{2n}=dbinom{3n}{n}^2 ]

EI 的生成函数证明

先为左侧赋予一个组合意义：枚举 (k)，考虑有 (3n+k) 个球排成一排：

• 在其中选出 (2n) 个准备染色，靠左的 (n) 个染为浅色，靠右的 (n) 个染为深色；
• 靠左的 (n) 个中取 (k) 个染为浅蓝色，其余为浅绿色；
• 靠右的 (n) 个中取 (n-k) 个染为深蓝色，其余为深绿色。

下面是右侧的组合意义：

• 先将 (3n) 个白色球排成一行，将其中 (n) 个染为蓝色，稍后决定深浅；
• 再生成一个长为 (3n) 的 01 序列，其中有 (n) 个 1；
• 显然上面两步的方案数就是 (dbinom{3n}{n}^2)；
• 拿两个指针，p 指向那行球中的白色球，q 指向 01 序列中的数，两个指针从头开始同步地扫过去；
• q 遇到 1 就把 p 指向的白色球染为浅绿色，直到 p 之前有 (n) 个有颜色的球；此时有：
  • (k) 确定了下来：p 前有 (k) 个浅蓝色球，(n-k) 个浅绿色球，这样得到第一段球；
  • 设 p 之后还有 (l) 个球，则 q 之后还剩 (l+k) 个数，其中 (k) 个为 1；
• 将 p 之后的球放到 q 之后的 0 的位置，1 的位置放深绿色球，这样得到第二段球；
• 两段球接起来便是符合左侧组合意义的一排球。

e.g.（b, B, g, G, x 分别代表浅蓝色、深蓝色、浅绿色、深绿色、白色）

n=3

xxbxbxbxx
p
011001000
q

xrbxbxbxx
 p
011001000
 q

xgbgbxbxx
   p
011001000
  q

xgbg  BxGBxx
   p
011   001000
  q