hdu 1028

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生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数，看到最多的是这样两句话：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

例子：

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚，问能称出哪几种重量？每种重量各有几种方案？

下面是用母函数解决这个问题的思路：

首先，我们用X表示砝码，X的指数表示砝码的重量。那么，如果用函数表示每个砝码可以称的重量，

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示，

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示，

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘，可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘，得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

接着把它与X^0+X^4相乘，最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

由于X的指数表示的是重量，所以，在相乘时，根据幂的运算法则（同底幂相乘，指数相加），得到的结果正是所有的方案。而且，每个X前面的系数代表它有几种方案。

需要注意的是，如果有2个1克的砝码，应该用X^0 + X^1 + X^2表示，而不是X^0 + 2*X^1。

母函数还可以解决其他问题，比如，整数划分。

整数划分是个很经典的问题，划分规则就不再细述，直接说思路。与上面的问题相比，每种砝码的个数不再是1个，而是无限个。于是，

1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示，

2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示，

3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示，

依次类推。

相乘后求出X^n的系数，就是结果。

总而言之，解决此类问题，只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组，c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数，c2[ ]保存每次计算时的临时结果，当每次计算完毕后，把它赋给c1，然后c2清零。

计算的时候，开3层for循环。最外层，记录它正在与第几个多项式相乘。第二层，表示c1中的每一项，第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

hdu 1028 整数分解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int lmax=40007;
int c1[lmax],c2[lmax];
//G(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+...)*(1+x^3+x^6+...)+..
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            c1[i]=1;//用来保存当前得到的多项式的各项系数
            c2[i]=0;//用来保存每次计算时的临时结果
        }
        for(int i=2;i<=n;i++)//记录c1正在与第几个多项式进行运算
        {
            for(int j=0;j<=n;j++)//c1中的每一项前的系数
            {
                for(int k=0;k+j<=n;k+=i)//表示被乘多项式的每一项的系数
                {
                    c2[k+j]+=c1[j];//每计算一次并把它赋给用于临时保存数据的c2
                }
            }
            for(int j=0;j<=n;j++)
            {
                c1[j]=c2[j];//每次计算完毕后，就把它赋给c1
                c2[j]=0;//然后c2清零
            }
        }
        cout<<c1[n]<<endl;
    }
}

以下是不同情况下的变化了：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

直接贴代码了：

 #include <iostream>
using namespace std;
 
int c1[10000], c2[10000];
int num[4];
int main()
{
    int nNum;
    while(scanf("%d %d %d", &num[1], &num[2], &num[3]) && (num[1]||num[2]||num[3]))
    {
        int _max = num[1]*1+num[2]*2+num[3]*5;
        // 初始化
        for(int i=0; i<=_max; ++i)
        {
            c1[i] = 0;
            c2[i] = 0;
        }
        for(int i=0; i<=num[1]; ++i)     
            c1[i] = 1;
        for(int i=0; i<=num[1]; ++i)
            for(int j=0; j<=num[2]*2; j+=2) 
                c2[j+i] += c1[i];
        for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1; ++i)   
        {
            c1[i] = c2[i];
            c2[i] = 0;
        }
 
        for(int i=0; i<=num[1]*1+num[2]*2; ++i)
            for(int j=0; j<=num[3]*5; j+=5)
                c2[j+i] += c1[i];
        for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1+num[3]*5; ++i)    //看到变化了吗
        {
            c1[i] = c2[i];
            c2[i] = 0;
        }
        int i;
 
        for(i=0; i<=_max; ++i)
            if(c1[i] == 0)
            {
                printf("%d\n", i);
                break;
            }
        if(i == _max+1)
            printf("%d\n", i);
    }
    return 0;
}

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2082

找单词：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int c1[51],c2[51];
int a[27];
int main()
{
    int N;
    cin>>N;
    while(N--)
    {
        int i,j,k;
        for(i=1;i<=26;i++)
        {
            cin>>a[i];
        }
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        c1[0]=1;//相当于用x^0去乘后面的多项式
        for(i=1;i<=26;i++)//要乘以26个多项式
        {
            for(j=0;j<=50;j++)//c1的各项指数
            {
                for(k=0;j+i*k<=50&&k<=a[i];k++)//k*i表示被乘多项式各项的指数（x^(0*i)+x^(1*i)+x^(2*i)+...)
                {                                                              //指数相加得j+k*i,加多少只取决于c1[j]的系数，因为被乘多项式的各项系数均1
                    c2[j+i*k]+=c1[j];
                }
            }
            for(j=0;j<=50;j++)
            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        int sum=0;
        for(i=1;i<=50;i++)sum+=c1[i];
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

Big Event in HDU：

(完全是按照上面的模板来写的）：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int value[77],num[77];
int c1[777777],c2[777777];
int main()
{
    int n;
    int i,j,k;
    while(cin>>n&&n>=0)
    {
        int sum=0;
        for( i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>value[i]>>num[i];
            sum+=value[i]*num[i];
        }
        memset(c1,0,sum*(sizeof(c1[1])));
        memset(c2,0,sum*(sizeof(c2[1])));
        c1[0]=1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=0;j<=sum;j++)
            {
                for(k=0;j+k*value[i]<=sum&&k<=num[i];k++)
                {
                    c2[j+k*value[i]]+=c1[j];
                }
            }
            for(j=0;j<=sum;j++)
            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        for(i=sum/2;i>=0;i--)
        {
            if(c1[i]!=0)break;
        }
        cout<<sum-i<<' '<<i<<endl;
    }
    return 0;
44 }

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2152

水果问题：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int c1[117],c2[117];
int a[117],b[117];
int main()
{
    int n,m;
    int i,j,k;
    while(cin>>n>>m)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>a[i]>>b[i];
        }
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        for(i=a[0];i<=b[0];i++)c1[i]=1;
        for(i=1;i<n;i++)
        {
            for(j=0;j<=m;j++)
            {
                for(k=a[i];k+j<=m&&k<=b[i];k++)//由题目要求进行限制，最关键的一步
                {
                    c2[k+j]+=c1[j];
                }
            }
            for(j=0;j<=m;j++)
            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        cout<<c1[m]<<endl;
    }
    return 0;
}

举了这么多例子，无非是想说母函数的应用变化多端，但只要掌握了其原理，再根据模板进行修改，就行了，come on！！！