问题描述
酒吧里，一个美女问一个绅士要不要与她玩一个游戏，游戏描述如下：两个各持一枚硬币，并各自选择硬币的正反面展示，如果硬币均为正面，绅士获得2美元，如果均为反面，绅士获得1美元，其他情况绅士付给美女2美元。绅士的盈亏状况可以用下表来描述：
| 正 | 反 | |
| 正 | +3 | -2 |
| 反 | -2 | +1 |
如果两人都是随机（1/2的概率）出正反面，根据概率来看他们的期望都是0，也就是不赚不亏，游戏是公平的。但是，如果某个人一直按这个概率出被另一个人发现则会输得很惨，因此这里就存在一个博弈的问题，期望会发生变化。
数学求解
设绅士以 (x) 的概率出正面，则出反面的概率为 (1-x)；
设美女以 (y) 的概率出正面，则出反面的概率为 (1-y)。
则绅士收入的数学期望为：
( E=3xy+1 imes (1-x)(1-y) - 2 imes [(1-x)y + (1-y)x]=8xy-3x-3y+1)
令( E < 0)，即:
(E=8xy-3x-3y+1<0)
整理可得：
(E=(8x-3)y-3x+1<0)
讨论：
若( x = frac{3}{8})，则无论(y)为何值都有(E<0)；
若(x > frac{3}{8})，则可得(y < frac{3x-1}{8x-3})，( frac{3x-1}{8x-3}) 是一个减函数，在(x=1)（(x)是概率有最大值1）时取最小值 (frac{2}{5})；
若(x < frac{3}{8})，则可得(y > frac{3x-1}{8x-3})，( frac{3x-1}{8x-3}) 是一个减函数，在(x=0)（(x)是概率有最小值0）时取最大值 (frac{1}{3})。
综上，无论绅士以何种概率出硬币，美女可以以(frac{1}{3}< y < frac{2}{5})的概率出正面获得恒正的收益。