一、问题重述
1790-1980年间美国人口记录表：
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年份 |
1790 |
1800 |
1810 |
1820 |
1830 |
1840 |
1850 |
1860 |
1870 |
1880 |
|
人口(´106) |
3.9 |
5.3 |
7.2 |
9.6 |
12.9 |
17.1 |
23.2 |
31.4 |
38.6 |
50.2 |
|
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年份 |
1890 |
1900 |
1910 |
1920 |
1930 |
1940 |
1950 |
1960 |
1970 |
1980 |
|
人口(´106) |
62.9 |
76.0 |
92.0 |
106.5 |
123.2 |
131.7 |
150.7 |
179.3 |
204.0 |
226.5 |
用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型。
二、问题假设
1.假设所给的数据真实可靠;
2.各个年龄段的性别比例大致保持不变;
3.人口变化不受外界大的因素的影响；
4.马尔萨斯人口模型
（1）单位时间的人口增长率r为常数；
（2）将x（t）视为t的连续可微函数。
5.改进后的模型（阻滞增长模型）
(1)人口净增长率r为变化量。
三、变量说明
X(t) t时刻的人口数量
X1790 1790年的的人口数量
r 人口净增长率
Xm 环境所能容纳的最大人口数量，即
四、模型建立
指数增长模型---马尔萨斯模型
阻滞增长模型（Logistic模型）
五、模型求解
输入数据
t=[1790:10:1980];
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5];
1.马尔萨斯模型求解
在matlab里用应用程序中的Curve Fitting求参数，得：
图1.马尔萨斯人口模型
参数：
Coefficients (with 95% confidence bounds):
r = 0.02222 (0.02163, 0.02281)
预测：
每个十年，从1990—2030：
y1 =
331.9474 414.5429 517.6900 646.5022 807.3656
查阅相关年份美国实际人口数据，1990年为248.7百万，2000年为281.4百万，2010年为307.0百万。可以看出马尔萨斯模型预测人口与实际相差很大，而且到后来增长速度变快，主要原因是没有抑制因素。
2.阻滞增长模型求解
在matlab里用应用程序中的Curve Fitting求参数，得：
图2阻滞增长模型与实际人口数据
参数：
a = 285.9 (257.4, 314.4)
r = 0.02858 (0.02763, 0.02953)
预测：
每个十年，从1990—2030：
y2 =
230.9171 242.5109 252.0186 259.6683 265.7291
改进后的模型与实际人口数据很接近。但依然有一定的误差。
3.观察两种模型及原数据的图像。
图3.两个模型与实际人口数据的对比
由图可以看出，阻滞增长模型相比于马尔萨斯模型与实际曲线拟合效果更好。
六、结果分析
1.马尔萨斯模型为指数增长模型，符合人口增长特点，但忽视了资源有限等外部条件，在最初效果可以，预测时间越长，与实际偏离程度越大。
2. 阻滞增长模型在指数增长的基础上添加了修正因子，使得模型包含自我抑制作用，考虑到了外部资源、环境容纳量等现实因素，对于人口预测有比指数模型更好的意义。
七．实验代码
t=[1790:10:1980];
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5];
y1=3.9*exp(0.02222.*(t-1790));
y2=285.9./(1+72.31*exp(-0.02858.*(t-1790)));
plot(t,x,'r',t,y1,'b',t,y2,'g');
legend('实际值','马尔萨斯模型','阻滞增长模型')