高斯型求积公式 勒让德、拉盖尔、切比雪夫

Gauss型求积公式

若机械求积公式具有阶代数精度，则称为Gauss型求积公式，而在上关于权函数的次正交多项式的零点就是Gauss型求积公式的Gauss点。

在Gauss型求积公式中，若权函数，区间为，则公式为

                

特别的称为Gauss-Legendre公式。下表列出Gauss-Legendre公式的结点和系数。

0	0.0000000	2.0000000	3	±0.8611361 ±0.3399810	0.3478548 0.6521452
1	±0.5773503	1.000000	4	±0.9061798 ±0.5384693 0.000000	0.2369269 0.4786287 0.5688889
2	±0.7745967 0.000000	0.5555556 0.8888889	5	±0.9324695 ±0.6612094 ±0.2386192	0.1713245 0.3607618 0.4679139

当积分区间是一般的区间时，只要做变换

                    

可将公式转换为

               

对等式右端积分使用Gauss-Legendre公式即可。

     Matlab代码如下：

function I = IntGaussLegen(f,a,b,n,AK,XK)

%

syms t;

t= findsym(sym(f));

if(n<5 && nargin == 4)

    AK = 0;

    XK = 0;

else                       

    XK1=((b-a)/2)*XK+((a+b)/2);

    I=((b-a)/2)*sum(AK.*subs(sym(f),findsym(f),XK1));

end

 

ta = (b-a)/2;

tb = (a+b)/2;

switch n

    case 0,

        I=2*ta*subs(sym(f),t,tb);

       

    case 1,

        I=ta*(subs(sym(f),t,ta*0.5773503+tb)+...

            subs(sym(f),t,-ta*0.5773503+tb));

       

    case 2,

        I=ta*(0.55555556*subs(sym(f),t,ta*0.7745967+tb)+...

            0.55555556*subs(sym(f),t,-ta*0.7745967+tb)+...

            0.88888889*subs(sym(f),t,tb));

          

    case 3,

        I=ta*(0.3478548*subs(sym(f),t,ta*0.8611363+tb)+...

            0.3478548*subs(sym(f),t,-ta*0.8611363+tb)+...

            0.6521452*subs(sym(f),t,ta*0.3398810+tb) +...

            0.6521452*subs(sym(f),t,-ta*0.3398810+tb));

         

    case 4,

        I=ta*(0.2369269*subs(sym(f),t,ta*0.9061793+tb)+...

            0.2369269*subs(sym(f),t,-ta*0.9061793+tb)+...

            0.4786287*subs(sym(f),t,ta*0.5384693+tb) +...

            0.4786287*subs(sym(f),t,-ta*0.5384693+tb)+...

            0.5688889*subs(sym(f),t,tb));

case 5,

        I=ta*(0.1713245*subs(sym(f),t,ta*0.9324695+tb)+...

            0.1713245*subs(sym(f),t,-ta*0.9324695+tb)+...

            0.3607616*subs(sym(f),t,ta*0.6612094+tb)+...

            0.3607616*subs(sym(f),t,-ta*0.6612094+tb)+...

            0.4679139*subs(sym(f),t,ta*0.2386292+tb)+...

            0.4679139*subs(sym(f),t,-*0.2386292+tb));

end

     若求积区间为，权函数为，则所建立的Gauss型求积公式为

称为Gauss-Chebyshev公式。其中结点为次Chebyshev多项式的零点，公式可记为

                    

    若求积区间为，权函数为，则所建立的Gauss型求积公式为

称为Gauss-Lagurre公式。其中结点为次Lagurre多项式的零点，下表列出Gauss-Lagurre公式的结点和系数。

0	1.0000000	1.0000000		0.2635603 1.4134031	0.52175556 0.3986668
1	0.5857864 3.4142135	0.8535533 0.1464466	4	3.5964258 7.0858100 12.6408008	0.0759425 0.00361176 0.00002337
2	0.4157746 2.2942804 6.2899451	0.7110930 0.2785177 0.0103893	5	0.2228466 1.1889321 2.9927363	0.4589647 0.4170008 0.1133734
3	0.3225477 1.7457611 4.5366203 9.3950710	0.6031541 0.3574187 0.0388879 0.0005393		5.7751436 9.8374674 15.9828740	0.1039920 0.000261017 0.0000008985