19 采药 dp-2

Description

辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是称为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

Input

输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。 

Output

输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

Sample Input

70 3
71 100
69 1
1 2

Sample Output

3

#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int main()
{
    int t,m;//总共能够用来采药的时间t，山洞里的草药的数目m
    int data[1005][2],ans[1005];//采摘某株草药的时间和这株草药的价值
    while(cin>>t>>m)
    {
        for(int i=0;i<m;i++)
        cin>>data[i][0]>>data[i][1];//输入采摘某株草药的时间和这株草药的价值
        memset(ans,0,sizeof(ans));//初始化数组
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            for(int j=t;j>=1;j--)
            {
                if(j-data[i][0]>=0)
                ans[j]=max(ans[j],ans[j-data[i][0]]+data[i][1]);
                /*解释一下：

                假设最大容量t=10,物品个数m=3,采摘药用时w{3,4,5},药物价值p{4,5,6}。

                当进行第i次循环时，f[v]中保存的是上次循环产生的结果，
                即第i-1次循环的结果(i>=1)。
                所以f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+p[i]}这个式子中，
                等号右边的f[v]和f[v-w[i]]+p[i]都是前一次循环产生的值。*/
            }
        }
        sort(ans,ans+t+1);
        cout<<ans[t]<<endl;
    }
    return 0;
}

初始化的细节问题：

 在求最优解的背包问题中，一般有两种不同的问法：1、要求“恰好装满背包”时的最优解；2、求小于等于背包容量的最优解，即不一定恰好装满背包。

这两种问法，在初始化的时候是不同的。

1、要求“恰好装满背包”时的最优解：

在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。如果不能恰好满足背包容量，即不能得到f[V]的最优值，则此时f[V]=-∞，这样就能表示没有找到恰好满足背包容量的最优值。

2、求小于等于背包容量的最优解，即不一定恰好装满背包：

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价值尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

总结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

参考：

http://www.cnblogs.com/fly1988happy/archive/2011/12/13/2285377.html

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4cd99cfa0100mer2.html

http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2010/07/31/1789621.html