亲和数问题

求500万以内的亲和数　　                                                                                                                             

“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”

——毕达哥拉斯

　　首先需要知道什么事亲和数？亲和数是指，两个数a和b，如果a的所有真因子之和等于b，而b所有的真因子之和也等于a，那么着两个数被称为亲和数(真因子包括1，但不包括自身)。

　　Example:

　　220的真因子： 1， 2， 4， 5， 10， 11， 20， 22， 44， 55， 110

　　284的真因子： 1， 2， 4， 71， 142

　　284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110(220的真因子之和)

　　220 = 1+2+4+71+142(284的真因子之和)

　　解决方案：首先想到的办法，即穷举法：对于任意的两个数a和b，判断a和b是否能满足亲和数的条件。算法的时间复杂度O(N³)，在数量级很大的情况下，算法的效率就显得非常低下。在穷举的时候可以做一些剪枝:从小数开始遍历，当前数a，求出其真因子之和b，然后在判断b对应的真因子之和是否等于a。然而这些类似处理办法，仅是“细节”上的优化，大方向“算法框架”不变，时间的复杂度也不会有多大的变化。

　　那么，如何选择优化的方向呢？判断两个数是否互为亲和数，必须要求出他们的真因子，当数量级较大时，算法的耗时体现在求这些数的真因子上。一种解决该问题的方法是，从低向上，以空间换时间(类似与动态规划算的基本思想)构建解空间：

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    const int love_size = 5000000;
    int *love_sum_array = new int[love_size];
    for (int i = 1; i < love_size; i++)       //1是所有数的真因子
    {
        love_sum_array[i] = 1;
    }

    for (int i = 2; i + i < love_size; i++)   //从2开始作为真因子项，为包含真因子项的love_sum加上该真因子项         
    {
        int j = i + i;                        //自身不作为真因子项，从2倍的项开始
        while (j < love_size)
        {
            love_sum_array[j] += i;
            j += i;
        }
    }

    for (int i = 220; i < love_size; i++)
    {
        //越界与亲和数判断
        if (love_sum_array[i] < love_size && love_sum_array[love_sum_array[i]] == i)
        {
            cout<<i<<" "<<love_sum_array[i]<<endl;
        }
    }

    delete[] love_sum_array;
    system("pause");
    return 0;
}

　　程序的运行结果如下：

　　

　　上面的代码涉及的一个C/C++简单知识点：C/C++程序默认的栈内存大小是1M(约等于10⁶)字节，而我们程序需要的内存空间4*0⁶字节。因此，如果在程序中开辟内存：int love_sum_array[love_size]，程序会报栈内存溢出错误，而采用堆的内存申请方式：int *love_sum_array = new int[love_size]，则不会有这样的限制。