第三次作业

1、 参考书《数据压缩导论（第4版）》  P ₁₀₀  5， 6

5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

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字母                    概率

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a_{1                             0.2}

a_{2                             0.3}

a_{3                             0.5}

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解：定义随机变量X（a_i）=i，假定我们对113231进行编码，则

由概率模型可知：

F_X（k）=0，k<=0，F_X（1）=P（a₁）=0.2，F_X（2）=P（a₁）+P（a₂）=0.2+0.3=0.5，

F_X（3）=P（a₁）+P（a₂）+P（a₃）=0.2+0.3+0.5=1，F_X（k）=1，k>3，

我们先确定标签的上下界，将l^（0）初始化为0，将u^（0）初始化为1。

那么，此序列的第一个元素为1，则得到以下更新：

u^（1）=l^（0）+（u^（0）-l^（0））*F_X（1）=0+（1-0）*0.2=0.2

l^（1）=l^（0）+（u^（0）-l^（0））*F_X（1-1）=0+（1-0）*0=0

也就是说，该标签包含在区间[0,0.2）中。

那么，此序列的第二个元素为1，则得到以下更新：

u^（2）=l^（1）+（u^（1）-l^（1））*F_X（1）=0+（0.2-0）*0.2=0.04

l^（2）=l^（1）+（u^（1）-l^（1））*F_X（1-1）=0+（0.2-0）*0=0

也就是说，该标签包含在区间[0,0.04）中。

那么，此序列的第三个元素为3，则得到以下更新：

u^（3）=l^（2）+（u^（2）-l^（2））*F_X（3）=0+（0.04-0）*1=0.04

l^（3）=l^（2）+（u^（2）-l^（2））*F_X（3-1）=0+（0.04-0）*0.5=0.02

也就是说，该标签包含在区间[0.02,0.04）中。

那么，此序列的第四个元素为2，则得到以下更新：

u^（4）=l^（3）+（u^（3）-l^（3））*F_X（2）=0.02+（0.04-0.02）*0.5=0.03

l^（4）=l^（3）+（u^（3）-l^（3））*F_X（2-1）=0.02+（0.04-0.02）*0.2=0.024

也就是说，该标签包含在区间[0.024,0.03）中。

那么，此序列的第五个元素为3，则得到以下更新：

u^（5）=l^（4）+（u^（4）-l^（4））*F_X（3）=0.024+（0.03-0.024）*1=0.03

l^（5）=l^（4）+（u^（4）-l^（4））*F_X（3-1）=0.024+（0.03-0.024）*0.5=0.027

也就是说，该标签包含在区间[0.027,0.03）中

那么，此序列的第六个元素为1，则得到以下更新：

u^（6）=l^（5）+（u^（5）-l^（5））*F_X（1）=0.027+（0.03-0.027）*0.2=0.00276

l^（6）=l^（5）+（u^（5）-l^（5））*F_X（1-1）=0.027+（0.03-0.027）*0=0.027

也就是说，该标签包含在区间[0.027,0.00276）中。

可以生成序列113231的标签如下：

T_X（113131）=（0.027+0.0276）/2=0.0273

T_X（a₁a₁a₃a₂a₃a₁ ）=（0.027+0.0276）/2=0.0273

6、对于表4-9给出的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

解：由概率模型可知：

F_X（k）=0，k<=0，F_X（1）=P（a₁）=0.2，F_X（2）=P（a₁）+P（a₂）=0.2+0.3=0.5，

F_X（3）=P（a₁）+P（a₂）+P（a₃）=0.2+0.3+0.5=1，F_X（k）=1，k>3，

我们先确定标签的上下界，我们将l^（0）初始化为0，u^（0）初始化为1，那么有

u^（1）=l^（0）+（u^（0）-l^（0））*F_X（X₁）=0+（1-0）* F_X（X₁）= F_X（X₁）

l^（1）=l^（0）+（u^（0）-l^（0））*F_X（X₁-1）=0+（1-0）* F_X（X₁-1）= F_X（X₁-1）

若X₁=1，F_X（X₁）=0.2，F_X（X₁-1）=0，则该标签所在区间为[0,0.2）；

若X₁=2，F_X（X₁）=0.5，F_X（X₁-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.2,0.5）；

若X₁=3，F_X（X₁）=1，F_X（X₁-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.5，1）。

因为0.63215699在区间[0.5，1）中，所以X₁=3，l^（1）=0..5，u^（1）=1，该序列的第一个元素为a₃

u^（2）=l^（1）+（u^（1）-l^（1））*F_X（X₂）=0.5+（1-0.5）* F_X（X₂）=0.5+0.5 * F_X（X₂）

l^（2）=l^（1）+（u^（1）-l^（1））*F_X（X₂-1）=0.5+（1-0.5）* F_X（X₂-1）=0.5+0.5* F_X（X₂-1）

若X₂=1，F_X（X₂）=0.2，F_X（X₂-1）=0，则该标签所在区间为[0.5,0.6）；

若X₂=2，F_X（X₂）=0.5，F_X（X₂-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6,0.75）；

若X₂=3，F_X（X₂）=1，F_X（X₂-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.75,1）；

因为0.63215699在区间[0.6,0.75）中，所以X₁=2，l^（2）=0.6，u^（2）=0.75，该序列的第二个元素为a₂

u^（3）=l^（2）+（u^（2）-l^（2））*F_X（X₃）=0.6+（0.75-0.6）* F_X（X₃）=0.6+0.15 * F_X（X₃）

l^（3）=l^（2）+（u^（2）-l^（2））*F_X（X₃-1）=0.6+（0.75-0.6）* F_X（X₃-1）=0.6+0.15 * F_X（X₃-1）

若X₃=1，F_X（X₃）=0.2，F_X（X₃-1）=0，则该标签所在区间为[0.6,0.63）；

若X₃=2，F_X（X₃）=0.5，F_X（X₃-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63,0.675）；

若X₃=3，F_X（X₃）=1，F_X（X₃-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.675,0.75）；

因为0.63215699在区间[0.675,0.75）中，所以X₃=2，l^（3）=0.63，u^（3）=0.675，该序列的第三个元素为a₂

u^（4）=l^（3）+（u^（3）-l^（3））*F_X（X₄）=0.63+（0.675-0.63）* F_X（X₄）=0.63+0.045 * F_X（X₄）

l^（4）=l^（3）+（u^（3）-l^（3））*F_X（X₄-1）=0.63+（0.675-0.63）* F_X（X₄-1）=0.63+0.045 * F_X（X₄-1）

若X₄=1，F_X（X₄）=0.2，F_X（X₄-1）=0，则该标签所在区间为[0.63,0.639）；

若X₄=2，F_X（X₄）=0.5，F_X（X₄-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.639,0.6525）；

若X₄=3，F_X（X₄）=1，F_X（X₄-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6525,0.675）；

因为0.63215699在区间[0.63,0.639）中，所以X₄=1，l^（4）=0.63，u^（4）=0.639，该序列的第四个元素为a₁

u^（5）=l^（4）+（u^（4）-l^（4））*F_X（X₅）=0.63+（0.639-0.63）* F_X（X₅）=0.63+0.009 * F_X（X₅）

l^（5）=l^（4）+（u^（4）-l^（4））*F_X（X₅-1）=0.63+（0.639-0.63）* F_X（X₅-1）=0.63+0.009 * F_X（X₅-1）

若X₅=1，F_X（X₅）=0.2，F_X（X₅-1）=0，则该标签所在区间为[0.63,0.6318）；

若X₅=2，F_X（X₅）=0.5，F_X（X₅-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6318,0.6345）；

若X₅=3，F_X（X₅）=1，F_X（X₅-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6345,0.639）；

因为0.63215699在区间[0.6318,0.6345）中，所以X₅=2，l ^（5）=0.6318，u^（5）=0.6345，该序列的第五个元素为a₂

u^（6）=l^（5）+（u^（5）-l^（5））*F_X（X₆）=0.6318+（0.6345-0.6318）* F_X（X₆）=0.6318+0.0027 * F_X（X₆）

l^（6）=l^（5）+（u^（5）-l^（5））*F_X（X₆-1）=0.6318+（0.6345-0.6318）* F_X（X₆-1）=0.6318+0.0027 * F_X（X₆-1）

若X₆=1，F_X（X₆）=0.2，F_X（X₆-1）=0，则该标签所在区间为[0.6318,0.63234）；

若X₆=2，F_X（X₆）=0.5，F_X（X₆-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63234,0.63315）；

若X₆=3，F_X（X₆）=1，F_X（X₆-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63315,0.6345）；

因为0.63215699在区间[0.6318,0.63234）中，所以X₆=1，l ^（6）=0.6318，u^（6）=0.63234，该序列的第六个元素为a₁

u^（7）=l^（6）+（u^（6）-l^（6））*F_X（X₇）=0.6318+（0.63234-0.6318）* F_X（X₇）=0.6318+0.00054 * F_X（X₇）

l^（7）=l^（6）+（u^（6）-l^（6））*F_X（X₇-1）=0.6318+（0.63234-0.6318）* F_X（X₇-1）=0.6318+0.00054 * F_X（X₇-1）

若X₇=1，F_X（X₇）=0.2，F_X（X₇-1）=0，则该标签所在区间为[0.6318,0.631908）；

若X₇=2，F_X（X₇）=0.5，F_X（X₇-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.631908,0.63207）；

若X₇=3，F_X（X₇）=1，F_X（X₇-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63207,0.63234）；

因为0.63215699在区间[0.63207,0.63234）中，所以X₇=3，l ^（7）=0.63207，u^（7）=0.63234，该序列的第七个元素为a₃

u^（8）=l^（7）+（u^（7）-l^（7））*F_X（X₈）=0.63207+（0.63234-0.63207）* F_X（X₈）=0.63207+0.00027 * F_X（X₈）

l^（8）=l^（7）+（u^（7）-l^（7））*F_X（X₈-1）=0.63207+（0.63234-0.63207）* F_X（X₈-1）=0.63207+0.00027 * F_X（X₈-1）

若X₈=1，F_X（X₈）=0.2，F_X（X₈-1）=0，则该标签所在区间为[0.63207,0.632124）；

若X₈=2，F_X（X₈）=0.5，F_X（X₈-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.632124,0.632205）；

若X₈=3，F_X（X₈）=1，F_X（X₈-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.632205,0.63234）；

因为0.63215699在区间[0.632124,0.632205）中，所以X₈=3，l ^（8）=0.632124，u^（8）=0.632205，该序列的第八个元素为a₃

u^（9）=l^（8）+（u^（8）-l^（8））*F_X（X₉）=0.632124+（0.632205-0.632124）* F_X（X₉）=0.632124+0.000081 * F_X（X₉）

l^（9）=l^（8）+（u^（8）-l^（8））*F_X（X₉-1）=0.632124+（0.632205-0.632124）* F_X（X₉-1）=0.632124+0.000081* F_X（X₉-1）

若X₉=1，F_X（X₉）=0.2，F_X（X₉-1）=0，则该标签所在区间为[0.632124,0.6321402）；

若X₉=2，F_X（X₉）=0.5，F_X（X₉-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6321402,0.6321645）；

若X₉=3，F_X（X₉）=1，F_X（X₉-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6321645,0.632205）；

因为0.63215699在区间[0.6321402,0.6321645）中，所以X₉=2，l ^（9）=0.6321402，u^（9）=0.6321645，该序列的第九个元素为a₂

u^（10）=l^（9）+（u^（9）-l^（9））*F_X（X₁₀）=0.6321402+（0.6321645-0.6321402）* F_X（X₁₀）=0.6321402+0.0000243 * F_X（X₁₀）

l^（10）=l^（9）+（u^（9）-l^（9））*F_X（X₁₀-1）=0.6321402+（0.6321645-0.6321402）* F_X（X₁₀-1）=0.6321402+0.0000243 * F_X（X₁₀-1）

若X₁₀=1，F_X（X₁₀）=0.2，F_X（X₁₀-1）=0，则该标签所在区间为[0.6321402, 0.63214506）；

若X₁₀=2，F_X（X₁₀）=0.5，F_X（X₁₀-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63214506, 0.63215235）；

若X₁₀=3，F_X（X₁₀）=1，F_X（X₁₀-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63215235,0.6321645）；

因为0.63215699在区间[0.63215235,0.6321645）中，所以X₁₀=3，l ^（10）=0.63215235，u^（10）=0.6321645，该序列的第十个元素为a₃

所以该序列为a₃a₂a₂a₁a₂a₁a₃a₂a₂a₃