反素数（高合成数？）

起源

我在做某题时，想到一个问题，在(1)到(100000)中，哪个数拥有最多的因子？
在uoj的群问了一下，感谢vfleaking给了我一个完美答案。

传送门

前一千个反素数
一道求反素数的题，让我来贴个代码，不过写得有点丑，用的是这位大牛的搜索+剪枝方法Orz。

为了防止百度空间挂掉，这里简单复述一下：

令(p_i)为第(i)个素数，比如(p_1=2,p_2=3,p_3=5)。
令(q_i)为第(i)个素数的指数。

因子个数为((q_1+1)(q_2+1)(q_3+1) ...)。

剪枝一

[q_1 geq q_2 geq q_3 geq ... ]

证明：
假如有(q_i < q_{i+1})，那么令(q_i)加一，(q_{i+1})减一，答案更优。

剪枝二

对于(q_i(i>1))，令(K)为使(2^K>p_i)的最小整数。
有$2^{q_1}{p_i}{q_i} > 2^{q_1 + K - 1} {p_i}^{q_i-1} (， 如果)q_i(比)q_i-1(优，那么)(q_1+1)(q_i+1)>(q_1+K)q_i(， 即)q_i < frac {q_1+1} {K-1}(。这样我们就找到了)q_i$的上界。

剪枝三

对于(q_i(i>1))，令(K)为使(2^K>p_i)的最小整数。
有$2^{q_1} {p_i}^{q_i} > 2^{q_1 - K}{p_i}^{q_i+1} (， 如果)q_i(比)q_i+1(优，那么)(q_1+1)(q_i+1)>(q_1-K+1)(q_i+2)(， 即)q_i > frac {q_1-2K+1} {K}(。这样我们就找到了)q_i$的下界。

剪枝四

令(K)为满足(2^K > p_m)的最小整数，其中(p_m)为(q_m)一定为(0)的最小数。
有(2^{q_1}>2^{q_1-K}p_m)，
前者必然比后者优，所以(q_1+1>2(q_1-K+1))，即(q_1<2K)，这样，我们得到了(q_1)的上界。

打表代码：

#include <cstdio>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXDIGHT = 100;
#include "GNum.h" //高精度的库，这里不贴了

int main() {
	static int fac[1000000], a[1000000];
	int cnt = 0;
	memset(fac, -1, sizeof(fac));

	static GNum x;
	x.A[0] = 1;
	cout << "const prime[54] = {";

	for (int i = 2; i <100000; i ++) {
		if (fac[i] == -1) {
			cout << i;
			a[cnt ++] = i;
			fac[i] = i;
			x.mul(i);
			if (x.len > 25) break;
			cout << ',';
		}
		for (int j = 0; j < cnt && a[j] <= fac[i]; j ++) {
			fac[i * a[j]] = a[j];
		}
	}
	cout << "};
";

	cout << "const limitUpper[16][" << cnt << "] = {";
	for (int q1 = 0; q1 < 16; q1 ++) {
		if (q1) for (int i = 0; i < 28; i ++) cout << ' ';
		cout << "{";
		for (int i = 0; i < cnt; i ++) {
			int p = a[i];
			int k = ceil(log(p) / log(2));
			int ans = ceil((double) (q1 + 1) / (k -1)) ;
			if (i == 0) cout << 16;
			else {
				if (q1 && i) cout << ans;
				else cout << "0";
			}
			if (i == cnt-1) cout << "}";
			else cout << ',';
		}
		if (q1 == 16-1) cout << "};
";
		else cout << ",
";
	}

	cout << "const limitLower[16][" << cnt << "] = {";
	for (int q1 = 0; q1 < 16; q1 ++) {
		if (q1) for (int i = 0; i < 28; i ++) cout << ' ';
		cout << "{";
		for (int i = 0; i < cnt; i ++) {
			int p = a[i];
			int k = ceil(log(p) / log(2));
			int ans = ceil((double) (q1 + 1 - 2* k) / k) ;
			if ((q1 && i) && ans > 0) cout << ans;
			else cout << "0";
			if (i == cnt-1) cout << "}";
			else cout << ',';
		}
		if (q1 == 16-1) cout << "};
";
		else cout << ",
";
	}


	return 0;
}

提交代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

const int DIG = 10000;
const int MAXDIGHT = 29;

const int prime[54] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251};
const int limitUpper[16][54] = {{16,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{16,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
	{16,3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
	{16,4,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
	{16,5,3,3,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
	{16,6,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
	{16,7,4,4,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
	{16,8,4,4,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},
	{16,9,5,5,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},
	{16,10,5,5,4,4,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},
	{16,11,6,6,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},
	{16,12,6,6,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},
	{16,13,7,7,5,5,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},
	{16,14,7,7,5,5,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},
	{16,15,8,8,5,5,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3},
	{16,16,8,8,6,6,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}};
const int limitLower[16][54] = {{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,2,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,2,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,3,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,3,2,2,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,4,2,2,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,4,2,2,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,5,3,3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,5,3,3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,6,3,3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,6,4,4,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}};

struct GNum{
	int A[MAXDIGHT], len;

	GNum() {
		len = 1;
		A[0] = 0;
	}

	void input() {
		static int buf[1000];
		len = 0;
		int* ch = buf; 
		*(ch ++) = '#';
		do *ch = getchar(); while (*ch < '0' || *ch > '9');
		do *(++ ch) = getchar(); while (*ch >= '0' && *ch <= '9');
		ch --;

		int cnt = 0, num = 0, s = 1;
		while (*ch != '#') {
			num += s * (*ch - 48);
			cnt ++;
			s *= 10;
			if (cnt == 4) {
				cnt = 0;
				A[len ++] = num;
				num = 0, s = 1;
			}
			ch --;
		}
		if (cnt) A[len ++] = num;
	}

	void output() {
		printf("%d", A[len - 1]);
		for (int i = len - 2; i >= 0; i --)
			printf("%04d", A[i]);
	}

	void mul(const int &x) {
		if (x == 0) {
			len = 1;
			A[0] = 0;
			return;
		}
		for (int i = 0; i < len; i ++) {
			A[i] *= x;
		}
		for (int i = 0; i + 1 < len; i ++) {
			A[i + 1] += A[i] / DIG;
			A[i] %= DIG;
		}
		while (A[len - 1] >= DIG) {
			A[len] = A[len - 1] / DIG;
			A[len - 1] %= DIG;
			len ++;
		}
	}
};

GNum upper;

bool check(GNum &a, GNum &upper) {
	if (a.len != upper.len) return a.len < upper.len;
	for (int i = a.len - 1; i >= 0; i --) {
		if (a.A[i] != upper.A[i]) return a.A[i] < upper.A[i];
	}
	return true;
}

long long ans;
GNum num[54], ansNum;

void copyNum(GNum &des, GNum &src) {
	des.len = src.len;
	for (int i = 0; i < src.len; i ++) 
		des.A[i] = src.A[i];
}

void dfs(int depth, long long comb, int used, int p1) {
	GNum &x = num[depth];
	if (check(x, upper))
		if (comb > ans || (comb == ans && check(x, ansNum))) ans = comb, copyNum(ansNum, x);
		else;
	else return;
	GNum &y = num[depth + 1];
	copyNum(y, x);
	if (! used) return;

	int L = limitLower[p1][depth];
	int R = min(used + 1, limitUpper[p1][depth]);
	for (int i = 0; i < L; i ++) y.mul(prime[depth]);

	for (int i = L; i < R; i ++) {
		dfs(depth + 1, comb * (i + 1), i, p1);
		y.mul(prime[depth]);
	}
}

int main() {
	upper.input();
	/*
	upper.output();
	printf("
");
	*/
	num[1].A[0] = 1;
	for (int i = 0; i < 16; i ++) {
		dfs(1, i + 1, i, i);
		num[1].mul(2);
	}
	ansNum.output();
	printf("
");
	return 0;
}