Fast R-CNN中的边框回归

前面对R-CNN系的目标检测方法进行了个总结，其中对目标的定位使用了边框回归，当时对这部分内容不是很理解，这里单独学习下。

R-CNN中最后的边框回归层，以候选区域(Region proposal)为输入，来对Region proposal中包含的目标进行准将的定位。但是，这个输入的候选区域通常不会正确的包含目标区域，如下图：

绿色边框是飞机的Ground Truth边框，绿色的是Region proposal边框，虽然Region proposal中包含了目标飞机，但是其定位却不是很准确，这就需要对候选区域的边框进行修正，调整其位置和大小，以使其能够更为接近绿色的Ground Truth边框。

边框回归的方法

无论是Ground Truth边框还是Region proposal边框，可以使用一个四元组((x,y,w,h))来表示。其中，((x,y))表示边框的中心位置，((w,h))表示边框的宽和高。
在边框回归时，实际就是找到一种变换，使修正的后的Region proposal边框位置和Ground Truth边框尽可能的接近，公式表示如下：

[f(P_x,P_y,P_w,P_h) approx (G_x,G_y,G_w,G_h) ]

其中，((P_x,P_y,P_w,P_h))输入的候选区域的边框,((G_x,G_y,G_w,G_h))是Ground Truth边框。

那么这种变换(f)怎么进行呢？

观察边框的四元组表示((x,y))表示中心位置，对于位置的修正通常使用平移；((w,h))表示边框的宽和高，则可以使用缩放进行修正。也就是对边框的回归修正，

• 对边框的中心位置进行平移((Delta x,Delta y))

[egin{align*} Delta x &= P_w d_x(P) \ Delta y &= P_h d_y(P) end{align*} ]

则修正的中心位置就是

[egin{align*} hat{G_x} &= P_w d_x(P) + P_x \ hat{G_y} &= P_h d_y(P) + P_y end{align*} ]

• 对边框的宽和高进行缩放((S_w,S_h)),

[egin{align*} S_w &= exp(d_w(P)) \ S_h &= exp(d_h(P)) end{align*} ]

修正后的边框的宽和高为

[egin{align*} hat{G_w} &= P_w exp(d_w(P)) \ hat{G_h} &= P_h exp(d_h(P)) end{align*} ]

修正后的边框((hat{G_x},hat{G_y},hat{G_w},hat{G_h} ))要近似等于Ground Truth的边框。

通过上述公式可以知道，边框回归实际上就是学习(d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P))这4个变换。在边框回归的全连接层，输入的是候选区域的特征信息(X)以及其边框信息(P)，要学习的是全连接层的权值矩阵(W)，也就说回归的全连接层就实现了上述变换，输出的是(d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P))，经过上述公式的可以得到平移和缩放((Delta x,Delta y,S_w,S_h))。 对候选区域的边框进行该平移和缩放得到的边框尽可能的和Ground Truth相近。

学习得到的(d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P))通过数码的公式可以很容易得到((Delta x,Delta y,S_w,S_h))，也可以说学习得到的是((Delta x,Delta y,S_w,S_h))。 这两者没有区别，不用做区分。 但是在计算预测边框位置的时候，需要注意。

损失函数

R-CNN使用一个全连接网络实现边框的回归，

• 其输入的是候选区域的特征及其边框((P_x,P_y,P_w,P_h))
• 输出的该候选框要进行的平移和缩放((Delta x,Delta y,S_w,S_h))。
• 要学习的是权值矩阵(W)，以使候选框进行((Delta x,Delta y,S_w,S_h))变换后，尽可能和Ground Truth接近。

有了以上认识，来看下损失函数的设计

[L(p,u,t^u,v) = L_{cls}(p,u) + lambda [u ge 1]L_{Ioc}(t^u,v) ]

其中，(L_{cls}(p,u))是分类的损失函数，(p_u)是class u的真实分类的概率。这里，约定(u = 0)表示背景，不参与边框回归的损失计算。上面是Fast R-CNN将分类的损失和边框回归的损失放到了一起，这里这关注边框回归的损失

[egin{align*} L_{Ioc}(t^u,v) &= sum_{i in {x,y,w,h}}smooth_{L_1}(t_i^u - v) end{align*} ]

其中，(u)表示类别，(t^u)表示预测边框的偏移量（也就是预测边框进行(t^u)偏移后，能够和真实边框最接近），(v)表示预测边框和实际边框之间真正的偏移量。
也就是(t^u = (Delta x,Delta y,S_w,S_h))为学习得到的偏移量，而(v)则是输入的候选区域的边框和Ground Truth的真正偏移。

训练样本偏移(v)的构造

我们使用下面的公式描述了边框修正的过程

[egin{align*} hat{G_x} &= Delta x + P_x \ hat{G_y} &= Delta y + P_y \ hat{G_w} &= P_w S_w ,S_w = exp(d_w(P))\ hat{G_h} &= P_h S_h,S_h = exp(d_h(P)) end{align*} ]

(P)为输入的边框，(hat{G})为修正后的边框，修正使用的平移和缩放为((Delta x,Delta y,S_w,S_h))。通过上述的公司，就可以得到训练样本(P = (P_x,P_y,P_w,P_h))相对于Ground Truth(G = (G_x,G_y,G_w,G_h))边框的真实偏移量(v)

[egin{align*} v_x &= (G_x - P_x) / P_w \ v_y &= (G_y - P_y) / P_h \ v_w &= log(G_w / P_w) \ v_h &=log(G_h / P_h) end{align*} ]

偏移量的构造

边框回归的偏移量使如下公式表示

[egin{align*} Delta x &= P_w d_x(P) \ Delta y &= P_h d_y(P) \ S_w &= exp(d_w(P)) \ S_h &= exp(d_h(P)) end{align*} ]

从上面公式可知，从边框回归的学习得到的(d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P))并没有直接用于平移和缩放，而是加了一步处理：对于平移，添加了比例宽高比例因子；宽和高的缩放，使用其比例的(log)形式。

对于中心点平移，学习到的值需要添加宽和高的因子。这是由于，CNN具有尺度不变性，对于不同尺度的同一个目标，在最后的特征输出层学习到的特征是相同。如下图

两个不同尺度的人，CNN提取的特征分别为(sigma_1,sigma_2)，这两个特征应该是相同的。 假如边框回归学习到的映射为(f)，且(f(sigma))学习到的量。 以(x)为例，(x1,x2)分别为两个人的Ground Truth，(P_{1x},P_{2x})为两个候选区域的(x)坐标。假如，(f(sigma))直接表示平移的差值，则有(x_1 - P_{1x} = f(sigma_1),x2-P_{2x}=f(sigma_2))。而(sigma_1,sigma_2)，这两个特征是相同的，则有(f(sigma_1) = f(sigma_2))。故有(x_1 - P_{1x} = x2-P_{2x})。从，上图看，这两个不同尺度的人的平移量，显然是不相同的。 所以，将学习到的量作为坐标偏移显然是不可行的，R-CNN中给其添加了个尺度因子，也就是目标的宽和高。 如下：

[f(sigma_1) = x_1 - P_{1w}P_{1x} \ f(sigma_2) = x_2 - P_{2w}P_{2x} ]

尺度（宽和高）的缩放，取其(log)形式。
需要学习得到宽和高的缩放因子，就需要将学习到的值限制为大于0，这里就取其(exp(d_w(P))，来保证缩放因子都大于0.

总结

边框回归输入的是CNN学习到的候选区域的特征，以及候选区域的边框信息((x,y,w,y))。通过学习得到映射(d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P))。(P_wd_x(P),P_hd_y(P))添加尺度因子后，作为坐标的平移；(exp(d_w(P)),exp(d_h(P)))取作为宽和高的缩放。