图像处理基础(4)：高斯滤波器详解

本文主要介绍了高斯滤波器的原理及其实现过程

高斯滤波器是一种线性滤波器，能够有效的抑制噪声，平滑图像。其作用原理和均值滤波器类似，都是取滤波器窗口内的像素的均值作为输出。其窗口模板的系数和均值滤波器不同，均值滤波器的模板系数都是相同的为1；而高斯滤波器的模板系数，则随着距离模板中心的增大而系数减小。所以，高斯滤波器相比于均值滤波器对图像个模糊程度较小。

什么是高斯滤波器

既然名称为高斯滤波器，那么其和高斯分布（正态分布）是有一定的关系的。一个二维的高斯函数如下：

[ h(x,y) = e ^ {- frac{x^2 + y^2}{2sigma ^ 2}} ]

其中((x,y))为点坐标，在图像处理中可认为是整数；(sigma)是标准差。要想得到一个高斯滤波器的模板，可以对高斯函数进行离散化，得到的高斯函数值作为模板的系数。例如：要产生一个(3 imes 3)的高斯滤波器模板，以模板的中心位置为坐标原点进行取样。模板在各个位置的坐标，如下所示（x轴水平向右，y轴竖直向下）

这样，将各个位置的坐标带入到高斯函数中，得到的值就是模板的系数。
对于窗口模板的大小为 ((2k + 1) imes (2k + 1))，模板中各个元素值的计算公式如下：

[ H_{i,j} = frac{1}{2pi sigma ^ 2}e ^{-frac{(i - k - 1)^2 + (j - k - 1)^2}{2 sigma ^ 2}} ]

这样计算出来的模板有两种形式：小数和整数。

• 小数形式的模板，就是直接计算得到的值，没有经过任何的处理；
• 整数形式的，则需要进行归一化处理，将模板左上角的值归一化为1，下面会具体介绍。使用整数的模板时，需要在模板的前面加一个系数，系数为(frac{1}{sumlimits_{(i,j)in w}w_{i,j}})，也就是模板系数和的倒数。

高斯模板的生成

知道模板生成的原理，实现起来也就不困难了

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
    static const double pi = 3.1415926;
    int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐标的原点
    double x2, y2;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - center, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - center, 2);
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            g /= 2 * pi * sigma;
            window[i][j] = g;
        }
    }
    double k = 1 / window[0][0]; // 将左上角的系数归一化为1
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            window[i][j] *= k;
        }
    }
}

需要一个二维数组，存放生成的系数（这里假设模板的最大尺寸不会超过11）；第二个参数是模板的大小（不要超过11）；第三个参数就比较重要了，是高斯分布的标准差。
生成的过程，首先根据模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。 然后就是遍历，根据高斯分布的函数，计算模板中每个系数的值。
需要注意的是，最后归一化的过程，使用模板左上角的系数的倒数作为归一化的系数（左上角的系数值被归一化为1），模板中的每个系数都乘以该值（左上角系数的倒数），然后将得到的值取整，就得到了整数型的高斯滤波器模板。
下面截图生成的是，大小为(3 imes 3,sigma = 0.8)的模板

对上述解结果取整后得到如下模板：

[ frac{1}{16}left[ egin{array}{c} 1 & 2 & 1 \ 2 & 4 & 2 \ 1 & 2 & 1 end{array} ight] ]

这个模板就比较熟悉了，其就是根据(sigma = 0.8)的高斯函数生成的模板。

至于小数形式的生成也比较简单，去掉归一化的过程，并且在求解过程后，模板的每个系数要除以所有系数的和。具体代码如下：

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
    static const double pi = 3.1415926;
    int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐标的原点
    double x2, y2;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - center, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - center, 2);
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            g /= 2 * pi * sigma;
            sum += g;
            window[i][j] = g;
        }
    }
    //double k = 1 / window[0][0]; // 将左上角的系数归一化为1
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            window[i][j] /= sum;
        }
    }
}

(3 imes 3,sigma = 0.8)的小数型模板。

(sigma)值的意义及选取

通过上述的实现过程，不难发现，高斯滤波器模板的生成最重要的参数就是高斯分布的标准差(sigma)。标准差代表着数据的离散程度，如果(sigma)较小，那么生成的模板的中心系数较大，而周围的系数较小，这样对图像的平滑效果就不是很明显；反之，(sigma)较大，则生成的模板的各个系数相差就不是很大，比较类似均值模板，对图像的平滑效果比较明显。

来看下一维高斯分布的概率分布密度图：

横轴表示可能得取值x，竖轴表示概率分布密度F(x)，那么不难理解这样一个曲线与x轴围成的图形面积为1。(sigma)（标准差）决定了这个图形的宽度，可以得出这样的结论：(sigma)越大，则图形越宽，尖峰越小，图形较为平缓；(sigma)越小，则图形越窄，越集中，中间部分也就越尖，图形变化比较剧烈。这其实很好理解，如果sigma也就是标准差越大，则表示该密度分布一定比较分散，由于面积为1，于是尖峰部分减小，宽度越宽（分布越分散）；同理，当(sigma)越小时，说明密度分布较为集中，于是尖峰越尖，宽度越窄！
于是可以得到如下结论：
(sigma)越大，分布越分散，各部分比重差别不大，于是生成的模板各元素值差别不大，类似于平均模板；
(sigma)越小，分布越集中，中间部分所占比重远远高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值远远大于其他元素值，于是自然而然就相当于中间值得点运算。

基于OpenCV的实现

在生成高斯模板好，其简单的实现和其他的空间滤波器没有区别，具体代码如下：

void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
    CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只处理单通道或者三通道图像
    const static double pi = 3.1415926;
    // 根据窗口大小和sigma生成高斯滤波器模板
    // 申请一个二维数组，存放生成的高斯模板矩阵
    double **templateMatrix = new double*[ksize];
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        templateMatrix[i] = new double[ksize];
    int origin = ksize / 2; // 以模板的中心为原点
    double x2, y2;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - origin, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - origin, 2);
            // 高斯函数前的常数可以不用计算，会在归一化的过程中给消去
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            sum += g;
            templateMatrix[i][j] = g;
        }
    }
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            templateMatrix[i][j] /= sum;
            cout << templateMatrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    // 将模板应用到图像中
    int border = ksize / 2;
    copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
    int channels = dst.channels();
    int rows = dst.rows - border;
    int cols = dst.cols - border;
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int a = -border; a <= border; a++)
            {
                for (int b = -border; b <= border; b++)
                {
                    if (channels == 1)
                    {
                        sum[0] += templateMatrix[border + a][border + b] * dst.at<uchar>(i + a, j + b);
                    }
                    else if (channels == 3)
                    {
                        Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i + a, j + b);
                        auto k = templateMatrix[border + a][border + b];
                        sum[0] += k * rgb[0];
                        sum[1] += k * rgb[1];
                        sum[2] += k * rgb[2];
                    }
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };
                dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    // 释放模板数组
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        delete[] templateMatrix[i];
    delete[] templateMatrix;
}

只处理单通道或者三通道图像，模板生成后，其滤波（卷积过程）就比较简单了。不过，这样的高斯滤波过程，其循环运算次数为(m imes n imes ksize^2)，其中m，n为图像的尺寸；ksize为高斯滤波器的尺寸。这样其时间复杂度为(O(ksize^2))，随滤波器的模板的尺寸呈平方增长，当高斯滤波器的尺寸较大时，其运算效率是极低的。为了，提高滤波的运算速度，可以将二维的高斯滤波过程分解开来。

分离实现高斯滤波

由于高斯函数的可分离性，尺寸较大的高斯滤波器可以分成两步进行：首先将图像在水平（竖直）方向与一维高斯函数进行卷积；然后将卷积后的结果在竖直（水平）方向使用相同的一维高斯函数得到的模板进行卷积运算。具体实现代码如下：

// 分离的计算
void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
    CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); // 只处理单通道或者三通道图像
    // 生成一维的高斯滤波模板
    double *matrix = new double[ksize];
    double sum = 0;
    int origin = ksize / 2;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        // 高斯函数前的常数可以不用计算，会在归一化的过程中给消去
        double g = exp(-(i - origin) * (i - origin) / (2 * sigma * sigma));
        sum += g;
        matrix[i] = g;
    }
    // 归一化
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        matrix[i] /= sum;
    // 将模板应用到图像中
    int border = ksize / 2;
    copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
    int channels = dst.channels();
    int rows = dst.rows - border;
    int cols = dst.cols - border;
    // 水平方向
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int k = -border; k <= border; k++)
            {
                if (channels == 1)
                {
                    sum[0] += matrix[border + k] * dst.at<uchar>(i, j + k); // 行不变，列变化；先做水平方向的卷积
                }
                else if (channels == 3)
                {
                    Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i, j + k);
                    sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
                    sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
                    sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };
                dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    // 竖直方向
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int k = -border; k <= border; k++)
            {
                if (channels == 1)
                {
                    sum[0] += matrix[border + k] * dst.at<uchar>(i + k, j); // 列不变，行变化；竖直方向的卷积
                }
                else if (channels == 3)
                {
                    Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i + k, j);
                    sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
                    sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
                    sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };
                dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    delete[] matrix;
}

代码没有重构较长，不过其实现原理是比较简单的。首先得到一维高斯函数的模板，在卷积（滤波）的过程中，保持行不变，列变化，在水平方向上做卷积运算；接着在上述得到的结果上，保持列不边，行变化，在竖直方向上做卷积运算。 这样分解开来，算法的时间复杂度为(O(ksize))，运算量和滤波器的模板尺寸呈线性增长。

在OpenCV也有对高斯滤波器的封装GaussianBlur，其声明如下：

CV_EXPORTS_W void GaussianBlur( InputArray src, OutputArray dst, Size ksize,
                                double sigmaX, double sigmaY = 0,
                                int borderType = BORDER_DEFAULT );

二维高斯函数的标准差在x和y方向上应该分别有一个标准差，在上面的代码中一直设其在x和y方向的标准是相等的，在OpenCV中的高斯滤波器中，可以在x和y方向上设置不同的标准差。
下图是自己实现的高斯滤波器和OpenCV中的GaussianBlur的结果对比

上图是(5 imes5,sigma = 0.8)的高斯滤波器，可以看出两个实现得到的结果没有很大的区别。

总结

高斯滤波器是一种线性平滑滤波器，其滤波器的模板是对二维高斯函数离散得到。由于高斯模板的中心值最大，四周逐渐减小，其滤波后的结果相对于均值滤波器来说更好。
高斯滤波器最重要的参数就是高斯分布的标准差(sigma)，标准差和高斯滤波器的平滑能力有很大的能力，(sigma)越大，高斯滤波器的频带就较宽，对图像的平滑程度就越好。通过调节(sigma)参数，可以平衡对图像的噪声的抑制和对图像的模糊。