数形结合思想

前言

为什么需要数形结合思想？数形结合体现了数学应用意识的萌生和发展。

参考

如何结合

作二者结合的训练：学习时，有意识的进行数与形的有效结合；训练做题时，有意识的从数的角度和形的角度进行思考，比如分段函数不等式的求解；

二者结合的素材：

暂时能想到：斜率公式，两点间距离公式，向量的加法减法的几何意义；向量的投影，线性规划问题，导函数的图像，用图像解不等式，二次方程根的分布，三个二次等等

易错情形

• 向量的投影

• 直线的参数方程的参数的几何意义

典例剖析

例1函数(y=sqrt{x^2+9}+sqrt{x^2-8x+41})的最小值为________________。

分析：借助平面内两点间距离公式，将函数转化为(y=sqrt{(x-0)^2+(0-3)^2}+sqrt{(x-4)^2+(0-5)^2})，

所给函数可以看作是点(P(x，y))到两定点(A(0，3))和(B(4，5))的距离之和，即在(x)轴上求一点(P)，使之到(x)轴同侧两点(A)，(B)的距离之和最小，

又(A)点关于(x)轴的对称点(A'(0，-3))，故(|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|geqslant |A'B|=4sqrt{5})，故所求最小值为(4sqrt{5})。

对照函数(y=f(x)=x+sqrt{-x^2+10x-23})的最小值；

法1：原函数可以转化为(y=x+sqrt{2-(x-5)^2})，

由于(2-(x-5)^2geqslant 0)，得到(|x-5|leqslant sqrt{2})，

令(x-5=sqrt{2}cosalpha)，则(alphain [0,pi])，且(x=sqrt{2}cosalpha+5),

则(y=x+sqrt{2-(x-5)^2}=sqrt{2}cosalpha+5+sqrt{2sin^2alpha})

(=sqrt{2}cosalpha+5+sqrt{2}sinalpha=2sin(alpha+cfrac{pi}{4})+5)

由于(alphain [0,pi])，则(sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [-cfrac{sqrt{2}}{2},1])

故(y_{min}=5-sqrt{2})，(y_{max}=7)，

法2：令(-x^2+10x-23geqslant 0)，得到函数的定义域为([5-sqrt{2}，5+sqrt{2}])，

又由于(y=-x^2+10x-23=-(x-5)^2+2)，故原函数必然在区间([5-sqrt{2},5])上单调递增，甚至能延伸到区间([5-sqrt{2},x_0])，(x_0>5)，在区间([x_0,5+sqrt{2}])上单调递减，

故其最小值必然(f(x)_{min}=min{f(5-sqrt{2})，f(5+sqrt{2})})，又(f(5-sqrt{2})=5-sqrt{2})，(f(5+sqrt{2})=5+sqrt{2})，

故(f(x)_{min}=5-sqrt{2}).

例1【2018福建龙岩市高三质检】【两点间距离公式】

若不等式((x-a)^2+(x-lna)^2>m)对任意(xin R)，(ain (0，+infty))恒成立，则实数(m)的取值范围是______________。

分析：检索自己的数学知识储备，我们能发现，不等式的左端的结构和平面内两点间的距离公式非常接近，

故我们主动联想，向两点间的距离公式的几何意义做靠拢；

• 注意，已知动点坐标((x，x))，则动点在函数(y=x)上；已知动点坐标((a，lna))，则动点在函数(y=lnx)上；已知动点坐标((x，lnx^2))，则动点在函数(y=2lnx)上；

已知动点坐标((a，2a))，则动点在函数(y=2x)上；

解法1：表达式((x-a)^2+(x-lna)^2)的几何意义是直线(y=x)上的点((x，x))到曲线(y=lnx)上的点((a，lna))距离的平方，

如果令(f(x)=(x-a)^2+(x-lna)^2)，则由(m<f(x))对任意(xin R)，(ain (0，+infty))恒成立，

即需要我们求(f(x))的最小值；这样题目首先转化为以下的题目：

(fbox{例1-相关})直线(y=x)上的动点为(P)，函数(y=lnx)上的动点是(Q)，求(|PQ|)的最小值。

【等价题目】直线(y=x)上的点为(P(x，x))，函数(y=lnx)上的点是(Q(a，lna))，求(sqrt{(x-a)^2+(x-lna)^2})的最小值。

设和直线(y=x)平行且和函数(y=lnx)相切的直线为(y=x+m)，

切点为(P_0(x_0，y_0))，则有

(egin{cases} y_0=x_{0}+ m \ y_0=lnx_0 \ f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}=1end{cases})；

从而解得(x_0=1，y_0=0，m=-1)

所以所求的点点距的最小值，就转化为切点(P_0(1，0))到直线(y=x)的点线距，

或者两条直线(y=x)，(y=x-1)的线线距了。

此时(|PQ|_{min}=cfrac{sqrt{2}}{2})；

由上述题目可知，(f(x)_{min}=(cfrac{sqrt{2}}{2})^2=cfrac{1}{2})，

故实数(m)的取值范围是(m<cfrac{1}{2})，即(min (-infty，cfrac{1}{2}))。

例2【2018浙江六校联考，选择改编为填空】【向量的加法减法的几何意义】

已知向量(vec{a})，(vec{b})是单位向量，若(vec{a}cdot vec{b}=0)，且(|vec{c}-vec{a}|+|vec{c}-2vec{b}|=sqrt{5})，则(|vec{c}+2vec{a}|)的取值范围是_________。

分析：利用向量减法的几何意义确定(|vec{c}-vec{a}|+|vec{c}-2vec{b}|=sqrt{5})表达的图形和(|vec{c}+2vec{a}|)的几何意义。

解法1：由于向量(vec{a})，(vec{b})是相互垂直的单位向量，不妨采用特殊化策略，

设(vec{a}=(1，0))，(vec{b}=(0，1))，将向量(vec{c})的起点放置在坐标原点，

则(|vec{c}-vec{a}|+|vec{c}-2vec{b}|)的几何意义就是向量(vec{c})的终点到向量(vec{a})，向量(2vec{c})的终点((1，0))和((0，2))的距离之和，

由于这两点间的距离等于(sqrt{5})，故向量(vec{c})的终点在以((1，0))，((0，2))为端点的线段上，

该线段所在的直线方程为(x+cfrac{y}{2}=1(0leq xleq 1))，

(|vec{c}+2vec{a}|=|vec{c}-(-2vec{a})|)的几何意义是向量(vec{c})的终点到向量(-2vec{a})的终点((-2，0))的距离，

显然最大距离即为点((-2，0))到点((1，0))的距离(3)，最小距离为点((-2，0))到直线(x+cfrac{y}{2}=1)的距离，

此距离为(d=cfrac{|-2-1|}{sqrt{1+frac{1}{4}}}=cfrac{6sqrt{5}}{5})；

故(|vec{c}+2vec{a}|)的取值范围是([cfrac{6sqrt{5}}{5}，3])。

例3【值域问题，斜率型】求函数(y=f(x)=cfrac{sinx-1}{cosx+2})的值域；

法1：反解法+辅助角公式，先反解得到(sinx-ycdot cosx=1+2y)，

即(sqrt{y^2+1}cdot sin(x+phi)=2y+1)，即(sin(x+phi)=cfrac{2y+1}{sqrt{y^2+1}})，

故有(|cfrac{2y+1}{sqrt{y^2+1}}|leq 1)，两边平方得到((2y+1)^2leq y^2+1) ，

解得$ -cfrac{4}{3}leq yleq 0$。

法2：数形结合，此题目可以看成动点((cosx，sinx))到定点((-2，1))的连线的斜率的取值范围，

而动点((cosx，sinx))的轨迹是单位圆，作出图像如右，

可以得到连线斜率(y_{max}=0)，而(y_{min})应该是定点与图中的切点((x_0，y_0))的连线的斜率。

以下求切点((x_0，y_0))。

由(egin{cases} cfrac{y_0-1}{x_0+2}cdot cfrac{y_0}{x_0}=-1 ①\x_0^2+y_0^2=1 ②end{cases})，

②代入①解得(y_0-2x_0=1)，联立②式，

从而解得(x_0=-cfrac{4}{5}或x_0=0(舍去))，(y_0=-cfrac{3}{5})，

代入求得另一个相切的斜率(k=y_{min}=cfrac{1+cfrac{3}{5}}{-2+cfrac{4}{5}}=-cfrac{4}{3})，

故$ -cfrac{4}{3}leq yleq 0$。

• 1、求函数(y=f(x)=cfrac{cosx-1}{sinx+2})的值域；

分析：函数(y=f(x)=cfrac{cosx-1}{sinx+2})的值域和函数(y=g(phi)=cfrac{sinphi-1}{cosphi+2})的值域一样，

为什么呢？这是因为单位圆(x^2+y^2=1)上的任意一点的坐标既可以表述为((cos heta，sin heta))，

也可以表述为((sinphi，cosphi))。

• 2、求函数(y=f(x)=cfrac{cosx+2}{sinx-1})的值域；

可以利用求函数(y=f(x)=cfrac{sinx-1}{cosx+2})的值域的倒数；

• 3、求函数(y=f(x)=cfrac{3sinx-2}{2cosx+5})的值域；

分析：(y=f(x)=cfrac{3sinx-2}{2cosx+5}=cfrac{3cdot(sinx-cfrac{1}{3})}{2cdot(cosx+cfrac{5}{2})})

(=cfrac{3}{2}cdot cfrac{sinx-cfrac{1}{3}}{cosx+cfrac{5}{2}})，从而关键是求出动点((cosx，sinx))与定点((-cfrac{5}{2}，cfrac{1}{3}))的连线的斜率的范围，再乘以(cfrac{3}{2})即可。

例4【向量的模】已知(vec{a})，(vec{b})是单位向量，(vec{a}cdot vec{b}=0)，若向量(vec{c})满足(|vec{c}-vec{a}-vec{b}|=1)，则(|vec{c}|)的最大值为【】

$A.sqrt{2}-1$ $B.sqrt{2}$ $C.sqrt{2}+1$ $D.sqrt{2}+2$

法1：从形入手，条件(|vec{c}-(vec{a}+vec{b})|=1)可以理解为如图的情况，

而(|vec{a}+vec{b}|=sqrt{2})，向量(vec{c})的终点在单位圆上，

故向量(|vec{c}|)的最大值为(sqrt{2}+1)，故选C。

法2：从数的角度，由题意得到(|vec{a}|=|vec{b}|=1，vec{a}cdotvec{b}=0)，

所以(|vec{a}+vec{b}|=sqrt{2})，又因为(|vec{c}-vec{a}-vec{b}|=1)，

所以(|vec{c}-vec{a}-vec{b}|^2=vec{c}^2-2vec{c}cdot(vec{a}+vec{b})+(vec{a}+vec{b})^2=1)，

设(vec{c})与(vec{a}+vec{b})的夹角为( heta)，

则(|vec{c}|^2-2|vec{c}| imessqrt{2}cos heta+2=1)，

即(|vec{c}|^2+1=2sqrt{2}|vec{c}|cos hetaleq 2sqrt{2}|vec{c}|)，

即(|vec{c}|^2-2sqrt{2}|vec{c}|+1leq 0)，

解得(sqrt{2}-1leq |vec{c}|leq sqrt{2}+1)。

法3：数形结合，由于(vec{a}，vec{b})为单位向量，且(vec{a}perp vec{b})，

故设(vec{a}=(1，0)，vec{b}=(0，1)，vec{c}=(x，y))，

则(vec{c}-vec{a}-vec{b}=(x-1，y-1))，由(|vec{c}-(vec{a}+vec{b})|=1)可得，

(sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=1)，即((x-1)^2+(y-1)^2=1)，

即向量(vec{c})的终点坐标在圆心位于点((1，1))半径为(1)的圆上，

故(|vec{c}|)的最大值是(sqrt{2}+1)，

当然也可以知道(|vec{c}|)的最小值是(sqrt{2}-1)。

例5【函数图像型】已知函数(f(x)=x^2+(m+2)x+1(m为常数))．讨论函数(g(x)=e^xf(x))的单调性；

【分析】求导后借助导函数的部分函数(y=(x+1)(x+m+3))的图像，利用两根的大小关系分类讨论，可以轻松判断其单调性；

【解答】(g(x)=e^x[x^2+(m+2)x+1])，定义域为(R)，

则(g'(x)=e^xcdot [x^2+(m+2)x+1]+e^xcdot (2x+m+2))

(=e^x[x^2+(m+4)x+m+3]=e^x(x+1)[x+(m+3)])

令(g'(x)=0)，得到(x=-1)或(x=-(m+3))，由于(e^x>0)恒成立，

故借助开口向上的二次函数(y=(x+1)[x+(m+3)])的图像求解如下：

①当(-(m+3)<-1)时，即(m>-2)时，

(xin (-infty，-m-3))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

(xin (-m-3，-1))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，

(xin (-1，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

②当(-(m+3)=-1)时，即(m=-2)时，(g'(x)ge 0)恒成立，

当且仅当(x=-1)时取得等号，故(g(x))在R上单调递增；

③当(-(m+3)>-1)时，即(m<-2)时，

(xin (-infty，-1))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

(xin (-1，-m-3))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，

(xin (-m-3，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

综上所述：

当(m<-2)时，函数(g(x))的单增区间为((-infty，-1))和((-m-3，+infty))，单减区间为$ (-1，-m-3)$;

当(m=-2)时，函数(g(x))只有单增区间为((-infty，+infty))；

当(m>-2)时，函数(g(x))的单增区间为((-infty，-m-3))和((-1，+infty))，单减区间为$ (-m-3，-1)$;

例6【函数图像解不等式】【2015(cdot)全国卷2】设函数(f'(x))是奇函数(f(x)(xin R))的导函数，(f(-1)=0)，当(x>0)时，(xf'(x)-f(x)<0)，则使得(f(x)>0)成立的(x)的取值范围是【】

$A(-infty，-1)cup(0，1)$ $B(-1，0)cup(1，+infty)$ $C(-infty，-1)cup(-1，0)$ $D(0，1)cup(1，+infty)$

【法1】注意到(xf'(x)-f(x) <0)，故构造函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，则函数(g(x))为偶函数；

(g'(x)=cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2})，结合当(x>0)时，(xf'(x)-f(x)<0)，

可知，当(x >0)时，(g'(x)<0)，即(g(x))在((0，+infty))上单调递减，

由偶函数可知，(g(x))在((-infty，0))上单调递增，

又(f(-1)=0)，即(g(-1)=cfrac{f(-1)}{-1}=0)，且(g(1)=g(-1)=0)，

从而做出(g(x))的图像如右图所示，

以下说明如何利用(g(x))的图像解不等式(f(x)>0)；

第一象限的函数图像(注意此时有(0 < x <1))，满足(g(x)=cfrac{f(x)}{x}>0) 且 (x >0)，

由符号法则得(f(x)>0)，将这段函数图像向(x)轴作射影，

得到(0< x <1)，即当(0< x <1)时，必有(f(x) >0) 成立；

同理可知，由第二象限的图像，注意此时有(-1< x <0)及 (g(x)>0)，可得当(-1< x <0)时，必有(f(x)<0)，不符；

同理，由第三象限的图像，注意此时有(x <-1)及 (g(x)>0)，可得当(x <-1)时，必有(f(x) >0)，符合；

同理，由第四象限的图像，注意此时有(x >1)及 (g(x) <0)，可得当(x >1)时，必有(f(x) <0)，不符；

综上所述，(f(x)>0)的解集是((-infty，-1)cup(0，1))。选A

【法2】有了法1做基础，我们可以简化如下，(y)轴右侧的图像，代表(x >0)，

那么(g(x)=cfrac{f(x)}{x})的分母就为正，现在要求解(f(x) >0)，此时必然会选择(x)轴上方的图像，其满足 (g(x) >0)，

故将这段图像向(x)轴作射影，落在区间((0 ，1))上，故有(0< x <1)时，(f(x) >0)；

而(y)轴左侧的图像，代表(x <0)，

那么(g(x)=cfrac{f(x)}{x})的分母就为负，现在要求解(f(x)>0)，此时必然会选择(x)轴下方的图像，其满足 (g(x)<0)，

故将这段图像向(x)轴作射影，落在区间((-infty ，-1))上，说明(x <-1)时，(f(x)>0)；

综上所述，(f(x)>0)的解集是((-infty，-1)cup(0，1))。选A

例7【向量的投影的几何意义】【2018西安八校联考第5题】已知(O)是坐标原点，点(A(2，1))，点(M(x，y))是平面区域(egin{cases}&yleq x\&x+yleq 1\&yge -1end{cases})内的一个动点，则(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM})的最大值是多少？

法1：利用向量的坐标运算得到，(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM}=2x+y)，故转化为求(2x+y)的最大值，即求(z=2x+y)的最大值，用线性规划的常规方法解决即可。

法2：利用向量的投影的几何意义求解，说明：点(M)是三角形区域内部及边界上的一个动点，动画只做了点(M)在边界上的情形；

注：图中有向线段(OB)是向量(overrightarrow{OM})在向量(overrightarrow{OA})方向上的投影，它是可正，可负，可零的；

(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM}=|overrightarrow{OA}|cdot |overrightarrow{OM}|cdot cos heta)，其中(|overrightarrow{OA}|)是个定值，

故只需要求(|overrightarrow{OM}|cdot cos heta)的最大值，而(|overrightarrow{OM}|cdot cos heta)的几何意义是(overrightarrow{OM})在(overrightarrow{OA})方向上的投影，

由图形可知，当点(M(x，y))位于点((2，-1))时投影(|overrightarrow{OM}|cdot cos heta)最大，故将点((2，-1))代入(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM}=3)。

变式题1：求(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM})的最小值是多少？

分析：由上图可以看出，当两个向量的夹角为钝角时，其投影是负值，故当点(M)位于点(C)时，其内积最小，

此时将点((-1，-1))代入得到(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM}=-3)。

变式题2：求向量(overrightarrow{OM})的投影的绝对值最小时的动点(M)的轨迹方程？

分析：当其夹角为(90^{circ})时，有向线段(OB=0)，故向量(overrightarrow{OM})的投影的绝对值最小(0)；

此时，点(M)在三角形区域内部且和直线(OA)垂直，故其轨迹为(y=-2x，(-1leqslant yleqslant 0))

例8【2019届高三理科数学二轮用题】在矩形(ABCD)中，(AB=2)，(AD=4)，(AC)与(BD)相交于点(O)，过点(A)作(AEperp BD)于(E)，则(overrightarrow{AE}cdot overrightarrow{AC})=【】

$A.cfrac{8}{5}$ $B.cfrac{16}{5}$ $C.cfrac{32}{5}$ $D.8$

法1：从形的角度思考，采用坐标法求解；以点(A)为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，

则可知(A(0，0))，(B(0，-2))，(C(4，-2))，(D(4，0))，设(E(x，y))，

则由(k_{AE}cdot k_{BD}=-1)，可得(y=-2x)①，又直线(BD：2y=x-4)②，

联立①②可得，(x=cfrac{4}{5})，(y=-cfrac{8}{5})，

则(overrightarrow{AE}cdot overrightarrow{AC}=(cfrac{4}{5}，-cfrac{8}{5})cdot (4，-2)=cfrac{32}{5})，故选(C).

法2：本题目是否还可以用基向量法，以(overrightarrow{AB})和(overrightarrow{AD})为基向量来表示其他向量，待思考；

例9【2019届高三理科数学二轮用题】已知函数(f(x)=-x^3+mx+2)，(g(x)=2x^2-nx)，且曲线(y=f(x))在点((2，f(2)))处的切线于曲线(y=g(x))在点((1，g(1)))处的切线平行，则(sqrt{m^2+n^2})的最小值为_______。

法1：由已知条件可知，(m+n=16)，若从数的角度入手分析，则(m=16-n)，

转化为先求(m^2+n^2=(16-n)^2+n^2=2n^2-32n+16^2=2(n-8)^2+128)，

故((m^2+n^2)_{min}=128)，故所求最小值为(sqrt{128}=8sqrt{2})。

法2：由已知条件可知，(m+n=16)，若从形的角度入手分析，建立如图所示的坐标系，

可知，(m+n=16)表示一条直线，(sqrt{m^2+n^2}=sqrt{(m-0)^2+(n-0)^2})表示定点((0，0))与动点((m，n))的距离，

故所求的最小距离为(8sqrt{2})。

例10【2019届高三理科数学二轮用题】设函数(f(x)=|lnx|)，若函数(g(x)=f(x)-ax)在区间((0，4))上有三个零点，则实数(a)的取值范围是__________。

分析：转化为函数(y=f(x))与函数(y=ax)的图像有三个交点，在同一个坐标系中做出两个函数的图像如图所示，

先求得直线(y=ax)与曲线(y=f(x))有两个交点的临界位置，其一为直线过点((4，ln4))时，此时的直线斜率为(k=a=cfrac{ln4}{4}=cfrac{ln2}{2})，另一个为直线和曲线相切时过切点，

利用设切点求切点的思路(此处略)，求得切点为((e，1))，此时的直线斜率为(k=a=cfrac{1}{e})，

故直线和曲线有三个交点时的(a)的取值范围是((cfrac{ln2}{2}，cfrac{1}{e}))。

例11已知点(O)是( riangle ABC)的外接圆的圆心，(AC=3)，(AB=2)，(BC=sqrt{7})，求(overrightarrow{AO}cdot overrightarrow{BC})的值；

分析：本题目可以考虑的角度比较多，比如利用向量的内积的定义，向量的内积的坐标运算，这些思路都不能走下去，所以需要重新思考新的思路，比如利用向量的内积的几何意义；

由于点(O)是外心，过点(O)做(OFperp AC)于点(F)，过点(O)做(OEperp AB)于点(E)，则(|AF|=cfrac{3}{2})，(|AE|=1)，

(overrightarrow{AO}cdot overrightarrow{BC}=overrightarrow{AO}cdot (overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB})=overrightarrow{AO}cdot overrightarrow{AC}-overrightarrow{AO}cdot overrightarrow{AB})

(=|overrightarrow{AO}||overrightarrow{AC}|cosangle CAO-|overrightarrow{AO}||overrightarrow{AB}|cosangle BAO=|overrightarrow{AC}||overrightarrow{AF}|-|overrightarrow{AB}||overrightarrow{AE}|)

(=3 imes cfrac{3}{2}-2 imes 1=cfrac{5}{2})。

例12【宝鸡市二检文理科第12题】已知函数(f(x)=a^x)与(g(x)=log_ax(a>0且a eq 1))的图像有两个公共点，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(0，e^{frac{1}{e}})$ $B.(1，e^{frac{2}{e}})$ $C.(1，sqrt{e})$ $D.(1，e^{frac{1}{e}})$

分析：先做出如右图所示的图像，从形上分析，由于函数(f(x)=a^x)与(g(x)=log_ax(a>0且a eq 1))互为反函数，其图像关于直线(y=x)对称，

故两条曲线相交时，直线(y=x)必然也会过他们的交点，这样我们将图形简化一下，

即要保证两条曲线有两个交点，只需要一区一直两条线有两个交点就可以了，

此时我们从形上已经不好把握了，需要转换到数的角度进行计算。

即函数(y=a^x)与函数(y=x)的图像有两个交点，也即方程(a^x=x)要有两个不同的实数根。

两边同时取自然对数，得到(lna^x=lnx)，即(xlna=lnx)，注意到图像的交点的(x eq 0)，

故分离参数得到(lna=cfrac{lnx}{x})，

则要方程使(lna=cfrac{lnx}{x})有两个不同的根，需要函数(y=lna)和(g(x)=cfrac{lnx}{x})要有两个交点，这样又转换到形了。

以下用导数方法，判断函数(g(x)=cfrac{lnx}{x})的单调性，得到在((0，e))上单调递增，在((e，+infty))上单调递减，做出其函数图像如右图所示，

故有(0<lna<cfrac{1}{e})，即(ln1<lna<lne^{frac{1}{e}})，故(ain (1，e^{frac{1}{e}}))，选(D).

解后反思：

①、数到形，形到数，二者之间的转换在高三数学的学习中非常普遍。

②、熟练掌握函数(f(x)=cfrac{lnx}{x})，以及(g(x)=lnxpm x)，(h(x)=xcdot lnx)等的函数的图像和性质，在解题中会有不小的惊喜。

③、在分离常数时，可以分离得出(lna=cfrac{lnx}{x})，还可以分离得到(a=e^{frac{lnx}{x}})，但是明显第一种分离方式更有利于计算，此处使用了整体思想。

例13设不等式组(egin{cases}x + y ge 3\x - y ge - 1\ 2x - y le 3end{cases})表示的平面区域为D，求函数(|3x-4y+12|)的取值范围。

法1：从数的角度分析，先求出(z=3x+4y+12)的取值范围，

再求(y=|z|=|3x-4y+12|)的取值范围。

法2：从形的角度分析，联想到点到直线的距离公式，

则可以先作变形，(|3x-4y+12|=5 imescfrac{|3x-4y+12|}{sqrt{3^2+4^2}})，

所求即可行域中的动点(P(x，y))到直线(3x-4y+12=0)的距离的5倍；

例14【2017辽宁沈阳二模】已知向量(overrightarrow{OA}=(3，1))，(overrightarrow{OB}=(-1，3))，(overrightarrow{OC}=moverrightarrow{OA})(-noverrightarrow{OB})((m>0，n>0))，若(m+nin [1，2])，则向量(|overrightarrow{OC}|)的取值范围是【】

$A.[sqrt{5}，2sqrt{5}]$ $B.[sqrt{5}，2sqrt{10})$ $C.(sqrt{5}，sqrt{10})$ $D.[sqrt{5}，2sqrt{10}]$

解：(overrightarrow{OC}=moverrightarrow{OA}-noverrightarrow{OB}=m(3，1)-n(-1，3)=(3m，m)-(-n，3n)=(3m+n，m-3n))，

故(|overrightarrow{OC}|=sqrt{(3m+n)^2+(m-3n)^2}=sqrt{10m^2+10n^2}=sqrt{10}sqrt{m^2+n^2})

【预备知识】已知(m>0)，(n>0) ，(m+nin [1，2])，求(m^2+n^2)的取值范围。

分析：将上述给定的数的条件转化为形的条件，则(m^2+n^2)可以看成半径为(r)的动圆上位于第一象限内的一点，(1leq m+nleq 2)可以看成两条平行线(m+n=1)和(m+n=2)之间的平面区域内且位于第一象限的的任意一点，

故(m^2+n^2)的取值范围：最小值可以看成圆心((0，0))到直线(m+n=1)的距离的平方，最大值可以看成圆心((0，0))到点((0，2))或((2，0))的距离的平方(取不到)，

则可知(d_1=cfrac{1}{sqrt{2}})，(d_2=2)，故(d_1^2=cfrac{1}{2})，(d_2^2=4)，即(m^2+n^2in [cfrac{1}{2}，4])；

接上可知，(|overrightarrow{OC}|=sqrt{10}sqrt{m^2+n^2}in [sqrt{5}，2sqrt{10}))，故选(B)。