求参数的取值范围

前言

求参数的取值范围，是高中数学中非常普遍的一类题目，现作以总结整理。、

集合

例1已知集合(A={xmid -2leq xleq 7})，集合(B={xmid m+1< x<2m-1 })，若(Bsubseteq A)，则实数(m)的取值范围是什么？

分析：集合(A)为定集，集合(B)为动集，又因为出现了条件(Bsubseteq A)，故需要针对集合(B)分类讨论如下：

1、当集合(B=varnothing)时，则有(m+1ge 2m-1)，解得(mleq 2)；

2、当集合(B eqvarnothing)时，必须满足三个条件，即(egin{cases}&m+1<2m-1\&-2leq m+1\&2m-1leq 7end{cases})，解得(2<mleq 4)；

综上所述：实数(m)的取值范围是({mmid mleq 4})。

逻辑用语

例2已知(“)命题(p：(x-m)^2>3(x-m))(”)是(“)命题(q：x^2+3x-4<0)(”)成立的必要不充分条件,则实数(m)的取值范围为________.　

【解析】先化简命题(p)，由((x-m)^2>3(x-m))，得到(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0)，

即(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0)，即((x-m)[x-(m+3)]>0)，

则有(p：x>m+3)或(x<m；q：-4<x<1)；

因为(p)是(q)成立的必要不充分条件，则({xmid-4<x<1}subseteq {xmid x>m+3或x<m})，

所以(m+3≤-4)或(m≥1)，即(m≤-7)或(m≥1)，

故(m)的取值范围为((-infty，-7]cup[1，+infty))。

例3【转化划归+分类讨论】设集合(A={xmid -2-a<x<a，a>0})，命题(p)：(1in A)，命题(q)：(2in A)，若(p)或(q)为真命题，(p)且(q)为假命题，则实数(a)的取值范围是【】

$A.{amid 0< a <1$或$a>2}$

$B.{amid 0< a <1$或$age 2}$

$C.{amid 1< a leq 2}$

$D.{amid 1leq aleq 2}$

法1：由(p)或(q)为真命题，(p)且(q)为假命题可知，转化为命题(p) 和(q)必然是一真一假；

当(p)真且(q)假时，有(left{egin{array}{l}{-2-a<1<a}\{2ge a或 2leq -2-a}end{array} ight.)，解得(1<aleq 2)；

当(p)假且(q)真时，有(left{egin{array}{l}{1ge a或 1leq -2-a}\{-2-a<2<a}end{array} ight.)，解得(ain varnothing)；

综上，(1<aleq 2)；故选(C)。

法2：利用运动观点求解，做出区间((-2-a，a))，然后让参数(a)从(0)到(3)逐渐增大，

当(a=0)时，设给定区间为(A)，则(A=(-2，0))，此时(1 otin A)且(2 otin A)，故不满足题意；

当(a=1)时，则(A=(-3，1))，此时(1 otin A)且(2 otin A)，故不满足题意；

当(a=1.5)时，则(A=(-3.5，1.5))，此时(1in A)且(2 otin A)，故满足题意；

当(a=2)时，则(A=(-4，2))，此时(1in A)且(2 otin A)，故满足题意；

当(a=3)时，则(A=(-5，3))，此时(1in A)且(2in A)，故不满足题意；

综上可知，参数(a)的取值只能是(1<aleq 2)；选(C).

定义域值域

• 已知定义域或值域，求参数的取值范围

例1【已知定义域或值域为(R)求参数的取值范围】已知函数(f(x)=ln(x^2+2ax-a))，

①如果函数的定义域是(R)，求参数(a)的取值范围；

预备：先想一想，这个函数的定义域应该怎么求解？

分析：由于函数的定义域是(R)，说明对任意的(xin R)，都能使得(g(x)=x^2+2ax-a>0)，

转化为二次函数恒成立问题了，(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)

这里用数形结合，函数(g(x))开口向上，和(x)轴没有交点，则(Delta <0)，

即(Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)<0)，解得(ain (-1，0))。

②如果函数的值域是(R)，求参数(a)的取值范围；

分析：如右图所示，要使得函数(f(x))的值域是(R)，说明内函数(g(x)=x^2+2ax-a)必须要能取遍所有的正数，结合下图，

如果有一部分正实数不能取到，那么函数(f(x))的值域就不会是(R)，这样只能是函数(g(x))的(Delta ge 0)，

而不能是(Delta <0)，注意现在题目要求是值域为(R)，而不是定义域为(R)，

因此必须满足条件(Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)ge 0)，解得(ain {amid aleq -1 ，age 0})。

下图是参数(ain [-3，3])时的两个函数图像的动态变化情况；

下图是参数(ain (-1，0))时的两个函数图像的动态变化情况；

二次不等式

例1【2017铜川模拟】不等式(a^2+8b^2ge lambda b(a+b))对于任意的(a，bin R)恒成立，则实数(lambda)的取值范围为_____________。

法1：(将(b)和(lambda)看做系数)将不等式转化为(a^2-lambda ba+8b^2-lambda b^2ge 0)对任意的(ain R)恒成立，

则(Delta =b^2lambda^2-4(8b^2-lambda b^2)=b^2(lambda^2+4lambda-32)leq 0)，

解得(-8leq lambda leq 4)。

法2：变量集中策略，当(b=0)时，即(a^2ge 0)恒成立，(lambdain R)；

当(b eq 0)时，原不等式等价于((cfrac{a}{b})^2+8ge lambda (cfrac{a}{b})+lambda)，

令(cfrac{a}{b}=tin R)，即(t^2-lambda t+8-lambdage 0)对任意的(tin R)恒成立，

则(Delta =(lambda)^2-4(8-lambda)leq 0)，

解得(-8leq lambda leq 4)。

综上所述(两种情况取交集)，实数(lambda)的取值范围为(-8leq lambda leq 4)。

例2设函数(f(x)=mx^2-mx-x(m eq 0))，若对于(xin [1，3])，(f(x)<-m+5)恒成立，求(m)的取值范围。

法1：利用二次函数求解，要使(f(x)<-m+5)恒成立，即(mx^2-mx+m-6<0)，

即(m(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}x-6<0)在(xin[1,3])上恒成立，

令(g(x)=m(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}x-6,xin [1,3])，

当(m>0)时，(g(x))在([1,3])上是增函数，

所以(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0), 解得(m<cfrac{6}{7})，

则有(0<m<cfrac{6}{7})；

当(m<0)时，(g(x))在([1,3])上是减函数，

所以(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0), 解得(m<6)，

则有(m<0)；

综上所述，(m)的取值范围是((-infty,0)cup(0,cfrac{6}{7}))。

法2：分离参数法，因为(x^2-x+1>0)，由(f(x)<-m+5)可得(m(x^2-x+1)-6<0)，

故有(m<cfrac{6}{x^2-x+1})恒成立，

又因为函数(y=cfrac{6}{x^2-x+1}=cfrac{6}{(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}})在区间([1,3])上的最小值为(cfrac{6}{7}),

故只需(m<cfrac{6}{7})即可，

又因为(m eq 0)，所以(m)的取值范围是((-infty,0)cup(0,cfrac{6}{7}))。

例4已知(ain[-1,1])时不等式(x^2+(a-4)x+4-2a>0)恒成立，则(x)的取值范围是多少？

分析：主辅元换位，把不等式的左端看成关于(a)的一次函数，

记为(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4)，则由(f(a)>0)对于任意的(ain[-1,1])恒成立，

只需(egin{cases}f(-1)>0\f(1)>0end{cases})即可，

即(egin{cases}x^2-5x+6>0\x^2-3x+2>0end{cases})，

解得(x<1)或(x>3)，则(x)的取值范围是((-infty,1)cup(3,+infty)).