三角函数的周期的求法

前言

总结高考中可能用到的三角函数的周期的求解方法：定义法，公式法，转化法，图像法，最小公倍数法；

典例剖析

定义法，利用(f(x+T)=f(x))，(T eq 0)，则(T)为函数的一个周期；

例1【定义法】函数(f(x)=-2(sin x-cfrac{sqrt{3}}{4})+cfrac{11}{8})，求最小正周期。

分析：由于复合函数有周期性，主要是因为含有(sin x)，尝试探索如下，

(f(x+2pi)=-2[sin (x+2pi)-cfrac{sqrt{3}}{4}]+cfrac{11}{8}=-2(sin x-cfrac{sqrt{3}}{4})+cfrac{11}{8}=f(x))

故(T=2pi).

例1【定义法】函数(f(x))满足(f(x+2)=f(x))，则(T=2)；

【变换法】函数(f(x))满足(f(x+2)=-f(x))，则(T=4)，

【变换法】函数(f(x))满足(f(x+2)=cfrac{1}{f(x)})，则(T=4)，

公式法：对于(f(x)=Asin(omega x+phi)+k)型，(T=cfrac{2pi}{|omega|})；

对于(f(x)=Acos(omega x+phi)+k)型，(T=cfrac{2pi}{|omega|})；

对于(f(x)=A an(omega x+phi)+k)型，(T=cfrac{pi}{|omega|})；

例2求(f(x)=cos(mx+cfrac{pi}{3})(m eq 0))的最小正周期；

分析：(T=cfrac{2pi}{|m|})；

转化法，对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为正弦型或者正切型等类型，再用公式法求解。

例3求(f(x)=2cosxsin(x+cfrac{pi}{3})-sqrt{3}sin^2x+sinxcosx)的周期；

分析：先将函数转化为(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{3}))，

故(T=cfrac{2pi}{2}=pi)；

图像法，常适用于含有绝对值[或两个]的函数，

例4【备忘】求(y=|sincfrac{x}{2}|)的最小正周期；

分析：(y=sincfrac{x}{2})的最小正周期为(T=4pi)，然后做出整个图像，

你会发现其最小正周期减半了，故最小正周期为(T=2pi)；

组合法，使用两种或两种以上的方法求解，常常将图像法和公式法组合使用，

例5求(f(x)=2|sin(4x-cfrac{pi}{3})|)

分析：图像法+公式法，先求得函数(g(x)=sin(4x-cfrac{pi}{3}))的周期(T=cfrac{2pi}{4}=cfrac{pi}{2})，

由于绝对值符号的作用，函数(f(x))的周期是函数(g(x))的周期的一半，

故函数(f(x))的周期是(T=cfrac{1}{2}cdot cfrac{pi}{2}=cfrac{pi}{4})。

小结：函数(f(x)=|Asin(omega x+phi)|)的周期的求法公式：(T=cfrac{pi}{|omega|})；

最小公倍数法，由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。

备注：①. 分数的最小公倍数的求法是：(各分数分子的最小公倍数)÷(各分数分母的最大公约数)。②. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。

例6【2016高考浙江卷改编】求函数(f(x)=sin^2x+bsinx+c)的最小正周期。

分析：最小公倍数法，

当(b=0)时，(f(x)=sin^2x+c=cfrac{1-cos2x}{2}+c)，(T=cfrac{2pi}{2}=pi)；

当(b eq 0)时，(f(x)=sin^2x+c+bsinx)，

令(h(x)=sin^2x+c=cfrac{1-cos2x}{2}+c)，其(T_1=pi)，

令(g(x)=bsinx)，其(T_2=2pi)；

函数(f(x))的最小正周期为(T_1)，(T_2)的最小公倍数，即(T=2pi)。

故函数(f(x)=sin^2x+bsinx+c)的最小正周期与(b)有关，与(c)无关。

典例剖析

例7【2020届高三三检试题】函数(f(x)=cos2x+|cos x|)的最小正周期为【】

$A.2pi$ $B.pi$ $C.cfrac{pi}{2}$ $D.cfrac{pi}{4}$

分析：最小公倍数法，

函数(y=cos2x)的最小正周期(T_1=pi)，函数(y=|cos x|)的最小正周期(T_2=pi)，

函数(f(x))的最小正周期为(T_1)，(T_2)的最小公倍数，即(T=pi)。故选(B).

备注：特例备忘，(f(x)=sin|x|)不是周期函数。

例8【备忘】求(y=|sincfrac{x}{2}|+|coscfrac{x}{2}|)的周期

法1：平方变形，(y^2=(|sincfrac{x}{2}|+|coscfrac{x}{2}|)^2)

(=sin^2cfrac{x}{2}+cos^2cfrac{x}{2}+2|sincfrac{x}{2}|cdot|coscfrac{x}{2}|)(=1+|sin x|)，

故(y=f(x)=sqrt{1+|sin x|})，由于(f(x+pi)=f(x))，

故最小正周期为(T=pi)，

法2：图像法，如下图所示，

例9求(f(x)=(asinx+cosx)^2)的周期；

【法1】：赋值法，令(a=1)，则函数(f(x)=1+sin2x)，故(T=cfrac{2pi}{2}=pi)；

【法2】：将函数变形为(f(x)=[sqrt{a^2+1}sin(x+phi)]^2=(a^2+1)cdot cfrac{1-cos(2x+2phi)}{2})，(T=cfrac{2pi}{2}=pi)；

备注：若按照平方和公式展开，思路就卡壳了。