求自变量的取值范围时需要注意的角度

前言

以下情形，其实质是不等式性质的灵活应用；在求解函数自变量的取值范围时，我们能想到用不等式的性质，让我们感觉比较难的是，列不等式组时如何确保所有的角度我们都能考虑到，不至于遗漏造成错误。

扇形面积计算

例1若扇形的周长是一个定值(C(C>0))，当(alpha)为多少弧度时，该扇形有最大面积？

分析：设扇形的弧长为(l)，半径为(R)，则(C=2R+l)，即(l=C-2R)；

由(left{egin{array}{l}{l>0}\{R>0}end{array} ight.)，即(left{egin{array}{l}{C-2R>0}\{R>0}end{array} ight.)，

解得，(0<R<cfrac{C}{2})；

由(S=cfrac{1}{2}cdot lcdot R=cfrac{1}{2}cdot (C-2R)cdot R)

(=-R^2+cfrac{C}{2}R=-(R-cfrac{C}{4})^2+cfrac{C^2}{16})

故当(R=cfrac{C}{4})时，(S_{max}=cfrac{C^2}{16})；

此时，(l=C-2R=cfrac{C}{2})，即此时(alpha=cfrac{l}{R}=2 (rad))。

均值不等式求面积

例2若矩形的周长是一个定值(C(C>0))，当长和宽为多少时，该矩形有最大面积？

分析：设矩形的长为(x)，则宽(y=cfrac{C}{2}-x)，

由(left{egin{array}{l}{x>0}\{y>0}end{array} ight.)，即(left{egin{array}{l}{x>0}\{cfrac{C}{2}-x>0}end{array} ight.)，

解得，(0<x<cfrac{C}{2})；

又由于(S=xy=xcdot (cfrac{C}{2}-x)leq [cfrac{x+(cfrac{C}{2}-x)}{2}]^2=cfrac{C^2}{16})，

当且仅当(x=cfrac{C}{2}-x)，即(x=y=cfrac{C}{4}in (0，cfrac{C}{2}))时取得等号。

二次型函数值域求解

例3若(sinx+siny=cfrac{1}{3})，则(M=sinx-cos^2y)的最大值与最小值的差为________________。

分析：由于(sinx+siny=cfrac{1}{3})，

所以(sin=cfrac{1}{3}-siny)，

由于(left{egin{array}{l}{-1leq sinyleq 1}\{-1leq sinxleq 1}end{array} ight.)

即就是，(left{egin{array}{l}{-1leq sinyleq 1}\{-1leq cfrac{1}{3}-sinyleq 1}end{array} ight.)

解得(-cfrac{2}{3}leq sinyleq 1)；

又由于(M=cfrac{1}{3}-siny-cos^2y=(siny-cfrac{1}{2})^2-cfrac{11}{12})，

则当(siny=-cfrac{2}{3})，(sinx=1)时，(M_{max}=cfrac{4}{9})；

当(siny=cfrac{1}{2})，(sinx=-cfrac{1}{6})时，(M_{min}=-cfrac{11}{12})；

故最大值与最小值的差为(cfrac{4}{9}-(-cfrac{11}{12})=cfrac{49}{36})。

角的范围求解

例4在锐角三角形(ABC)中，(C=2B),则(cfrac{c}{b})的取值范围是((sqrt{2}，sqrt{3}))

分析：本题先将(cfrac{c}{b}=cfrac{sinC}{sinB}=2cosB)，

接下来的难点是求(B)的范围，注意列不等式的角度，锐角三角形的三个角都是锐角，要同时限制

由(egin{cases} &0<A<cfrac{pi}{2} \ &0<B<cfrac{pi}{2} \ &0<C<cfrac{pi}{2}end{cases})得到，(egin{cases} &0<pi-3B<cfrac{pi}{2} \ &0<B<cfrac{pi}{2} \ &0<2B<cfrac{pi}{2}end{cases})

解得(Bin (cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{4}))，故(2cosB in (sqrt{2}，sqrt{3}）)。

例5【2019高三理科数学二轮用题】在锐角( riangle ABC)中，角(A、B、C)的对边分别为(a、b、c)，且满足((a-b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC)，若(a=sqrt{3})，则(b^2+c^2)的取值范围是【】

$A(5，6]$ $B(3，5)$ $C(3，6]$ $D[5，6]$

分析：由题目((a-b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC)，角化边得到，((a-b)(a+b)=(c-b)c)，整理得到(b^2+c^2-a^2=bc)，

由余弦定理可知，(cosA=cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=cfrac{bc}{2bc}=cfrac{1}{2})，又(Ain (0，pi))，故(A=cfrac{pi}{3})；

又已知(a=sqrt{3})，则有(2R=cfrac{a}{sinA}=2)，则(b=2RsinB=2sinB)，(c=2RsinC=2sinC)，

则(b^2+c^2=(2sinB)^2+(2sinC)^2)

(=4sin^2B+4sin^2(cfrac{2pi}{3}-B))

(=2cdot 2sin^2B+2cdot 2sin^2(cfrac{2pi}{3}-B))

(=2(1-cos2B)+2[1-cos(cfrac{4pi}{3}-2B)])

(=2-2cos2B+2+2cos(2B-cfrac{pi}{3}))

(=4+sqrt{3}sin2B-cos2B=4+2sin(2B-cfrac{pi}{6}))，

又由于三角形为锐角三角形，则三个角都是锐角，

故满足(left{egin{array}{l}{0<B<cfrac{pi}{2}}\{0<C<cfrac{pi}{2}}end{array} ight.)，即(left{egin{array}{l}{0<B<cfrac{pi}{2}}\{0<cfrac{2pi}{3}-B<cfrac{pi}{2}}end{array} ight.)，

解得，(cfrac{pi}{6}<B<cfrac{pi}{2})，故(cfrac{pi}{6}<2B-cfrac{pi}{6}<cfrac{5pi}{6})，则(cfrac{1}{2}<sin(2B-cfrac{pi}{6})leq 1)

故(b^2+c^2=4+2sin(2B-cfrac{pi}{6})in (5，6])，故选(A)。

随机事件的概率

例6若随机事件(A，B)互斥，(A，B)发生的概率均不等于0，且(P(A)=2-a)，(P(B)=4a-5)，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(cfrac{5}{4}，2)$ $B.(cfrac{5}{4}，cfrac{3}{2})$ $C.[cfrac{5}{4}，cfrac{3}{2}]$ $D.(cfrac{5}{4}，cfrac{4}{3}]$

分析：由于任一事件的概率的取值范围是(0leq P(C)leq 1)，互斥事件的概率满足(P(C)+P(D)leq 1)，故其应该满足条件如下：

(left{egin{array}{l}{0<2-aleq 1}\{0<4a-5leq 1}\{(2-a)+(4a-5)leq 1}end{array} ight.)，化简得(left{egin{array}{l}{1leq a<2}\{cfrac{5}{4}<aleq cfrac{3}{2}}\{aleq cfrac{4}{3}}end{array} ight.)，

解得(cfrac{5}{4}<aleq cfrac{4}{3})，故选(D)。

三角形边之比

例7已知( riangle ABC)的三边长分别为(a,b,c)，且满足(b+cleqslant 3a)，则(cfrac{c}{a})的取值范围为【】

$A.(1，+infty)$ $B.(0，2)$ $C.(1，3)$ $D.(0，3)$

分析：又已知及三角形三边关系得到，(left{egin{array}{l}{a<b+cleqslant 3a}\{a+b>c}\{a+c>b}end{array} ight.)，

得到，(left{egin{array}{l}{1<cfrac{b}{a}+cfrac{c}{a}leqslant 3}\{1+cfrac{b}{a}>cfrac{c}{a}②}\{1+cfrac{c}{a}>cfrac{b}{a}③}end{array} ight.)，将②③合写为一个双连不等式，

得到，(left{egin{array}{l}{1<cfrac{b}{a}+cfrac{c}{a}leqslant 3}\{-1<cfrac{c}{a}-cfrac{b}{a}<1}end{array} ight.)，

两式相加，得到(0<2 imes cfrac{c}{a}<4)，得到(cfrac{c}{a}in (0，2))，故选(B).