求正弦型函数的解析式

前言

正弦型函数指的是(f(x)=Asin(omega x+phi)+b)类的函数；

注意事项

• 一般是先求(omega)，再求(phi)，个别题目是反序的。举例^[1]；求(A)放在前面或者后面都可以。

• 求(omega)，往往需要先求(T)，而求(T)时，大多利用最值点和零点求解；

更一般的是利用(x_0)和(y_0)的值求解；如下图，(cfrac{T}{2}=x_0+cfrac{pi}{4}-x_0=cfrac{pi}{4})，(T=cfrac{pi}{2})，从而(omega=4)；

确定步骤

确定(y=Asin(omega x+phi)+b(A>0，omega>0))的步骤：

①求(A)和(b)；确定函数的最大值为(M)，最小值为(m)，则(A=cfrac{M-m}{2})，(b=cfrac{M+m}{2})，

②求(omega)；

③求(phi)；常用方法有代入法和五点法；

补充说明：

代入法：代入图像上的一个已知点(此时(A)，(omega)，(b)已知)

五点法：确定(phi)值时，往往以寻找五点法中的某一个点为突破口，具体如下：

“第一点”(即图像上升时与直线(y=b)的交点)时，(omega x+phi=0)；

“第二点”(即图像的峰点)时，(omega x+phi=cfrac{pi}{2})；

“第三点”(即图像下降时与直线(y=b)的交点)时，(omega x+phi=pi)；

“第四点”(即图像的谷点)时，(omega x+phi=cfrac{3pi}{2})；

“第五点”时，(omega x+phi=2pi)；

给出方式

• (omega)的给出方式

直接给出：函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{3}))的图像的横坐标缩短为原来的(cfrac{1}{3})，即新的(omega=3)；

间接给出：(f(x)=2sin(x+cfrac{pi}{3}))的图像的横坐标扩大了(2)倍，即图像的横坐标扩大为原来的(3)倍，即新的(omega=cfrac{1}{3})；

间接给出：(f(x)=2tanomega x(omega>0))的图像的相邻两支截直线(y=2)所得的线段长为(cfrac{pi}{2})，即(T=cfrac{pi}{omega}=cfrac{pi}{2})，则(omega=2)；

间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两个最高(低)点之间的距离是3，即(T=3)，求得(omega=cfrac{2pi}{3})；

间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的最高点和最低点之间的距离是5，由勾股定理求得(cfrac{T}{2}=3)，则(omega=cfrac{pi}{3})；

间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两个零点之间的距离是3，即(cfrac{T}{2}=3)，则(omega=cfrac{pi}{3})；

间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两条对称轴之间的距离是3，即(cfrac{T}{2}=3)，则(omega=cfrac{pi}{3})；

间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻对称轴和零点之间的距离是3，即(cfrac{T}{4}=3)，则(omega=cfrac{pi}{6})；

间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的最高点和零点之间的距离是(2sqrt{2})，由勾股定理求得(cfrac{T}{4}=2)，则(omega=cfrac{pi}{4})；

• (phi)的给出方式

典例剖析

例1【2018广东茂名一模】【有图情形】已知函数(f(x)＝Asin(omega x+phi)(A＞0，omega> 0，0＜phi＜pi))，其导函数的图象(f'(x))如图所示，则(f(cfrac{pi}{2}))＝【】

$A、2sqrt{3}$ $B、2$ $C、2sqrt{2}$ $D、4$

分析：由于(f'(x)=omega Acos(omega x+phi))，由(cfrac{T}{4}=cfrac{3pi}{2}-cfrac{pi}{2}=pi)，故(T=4pi)，故(omega=cfrac{2pi}{4pi}=cfrac{1}{2})，

又由图可知，(omega A=cfrac{1}{2}A=2)，故(A=4)，又由图(f'(cfrac{pi}{2})=0=2cos(cfrac{1}{2} imes cfrac{pi}{2}+phi))，即(cfrac{pi}{4}+phi=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)，故(phi=kpi+cfrac{pi}{4})，令(k=0)，即(phi=cfrac{pi}{4}in (0,pi))，

故函数(f(x)=4sin(cfrac{1}{2}x+cfrac{pi}{4}))，则(f(cfrac{pi}{2})=4)，故选(D)。

例2【2019高三理科数学二轮资料用题】【有图情形】已知函数(f(x)＝Atan(omega x＋phi))，其中(omega ＞0)，(|phi|＜cfrac{pi}{2})，(y＝f(x))的部分图象如图，则(f(cfrac{pi}{24}))＝__________.

分析：由图可知，(cfrac{T}{2}=cfrac{3pi}{8}-cfrac{pi}{8}=cfrac{pi}{4})，则(T=cfrac{pi}{2})，故(omega=cfrac{pi}{T}=2)，

又当(x=cfrac{3pi}{8})时，(2 imes cfrac{3pi}{8}+phi=kpi)，(kin Z)，则(phi=kpi-cfrac{3pi}{4})，

令(k=1)，则(phi=pi-cfrac{3pi}{4}=cfrac{pi}{4}in (-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))，又(x=0)时，(y=1)，

即(Atan(2 imes 0+cfrac{pi}{4})=1)，故(A=1)，即(f(x)=tan(2x+cfrac{pi}{4}))，

故(f(cfrac{pi}{24})=tan(2 imes cfrac{pi}{24}+cfrac{pi}{4})=sqrt{3})。

例3【无图情形】【2018届湖南衡阳八中第二次月考】已知函数(y＝sin(ωx＋φ)) ((ω>0，0<φ<π))的最小正周期为(π)，且函数图象关于点((-cfrac{3pi}{8}，0))对称，则该函数的解析式为________．

分析：由于函数(y＝sin(ωx＋φ))的最小正周期为(π)，故(omega=2)，又图象关于点((-cfrac{3pi}{8}，0))对称，

则(2 imes (-cfrac{3pi}{8})+phi=kpi)，故(phi=kpi+cfrac{3pi}{4})，(kin Z) ,

当(k=0)时，(phi=cfrac{3pi}{4}in (0,pi))，故解析式为(y=sin(2x+cfrac{3pi}{4})).

例4【有图情形】函数(f(x)=Asin(omega x+phi)+b(A>0，omega>0，|phi|<cfrac{pi}{2}))的一部分图像如图所示，则其解析式为【】

$A.f(x)=3sin(2x-cfrac{pi}{6})+1$

$B.f(x)=2sin(3x+cfrac{pi}{3})+2$

$C.f(x)=2sin(3x-cfrac{pi}{6})+2$

$D.f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+2$

分析：由图像可知，函数的最大值(M=4)，最小值(m=0)，故(A=cfrac{4-0}{2}=2)，(b=cfrac{4+0}{2}=2)，

又由于(cfrac{T}{4}=cfrac{5pi}{12}-cfrac{pi}{6}=cfrac{pi}{4})，故(T=pi)，故(omega=cfrac{2pi}{pi}=2)，

又(2 imes cfrac{pi}{6}+phi=cfrac{pi}{2})，解得(phi=cfrac{pi}{6}in (-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))，

故所求解析式为(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+2)，故选(D)。

例5【高频易错题】将函数(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))图象上的点(P(cfrac{pi}{4}，t))向左平移(s(s>0))个单位长度得到点(P′)。若(P′)位于函数(y=sin2x)的图象上，则 【 】

$A.t=cfrac{1}{2}，s的最小值为cfrac{pi}{6}$

$B.t=cfrac{sqrt{3}}{2}，s的最小值为cfrac{pi}{6}$

$C.t=cfrac{1}{2}，s的最小值为cfrac{pi}{3}$

$D.t=cfrac{sqrt{3}}{2}，s的最小值为cfrac{pi}{3}$

分析： 由于点(P(cfrac{pi}{4}，t))在函数(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))的图像上，

则有(t=sin(2 imescfrac{pi}{4}-cfrac{pi}{3})=sincfrac{pi}{6}=cfrac{1}{2})，所以点(P(cfrac{pi}{4}，cfrac{1}{2}))。

将点(P)向左平移(s(s>0))个单位长度得到点(P′(cfrac{pi}{4}-s，cfrac{1}{2}))

又因为点(P′(cfrac{pi}{4}-s，cfrac{1}{2}))在函数(y=sin2x)图像上，

则有(sin2(cfrac{pi}{4}-s)=cfrac{1}{2})，即(cos2s=cfrac{1}{2})，

所以(2s=2kpi+cfrac{pi}{3})或(2s=2kpi+cfrac{5pi}{3}(kin Z))

即(s=kpi+cfrac{pi}{6})或(s=kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))

所以(s)的最小值是(cfrac{pi}{6})。故选(A)；

反思：本题中点的移动，容易得到(P′(cfrac{pi}{4}+s，cfrac{1}{2}))，这是错误的，从而导致后续运算的错误。点的移动和函数图像的移动是不一样的，切记。

例6函数(f(x)=2sin(omega x+phi)(omega>0，-cfrac{pi}{2}<phi<cfrac{pi}{2}))的部分图像如图所示，则(omega，phi)的值分别是【】

$A、2，-frac{pi}{3}$ $B、2，-frac{pi}{6}$ $C、4，-frac{pi}{6}$ $D、4，frac{pi}{3}$

法1：由(cfrac{T}{2}=cfrac{11pi}{12}-cfrac{5pi}{12}=cfrac{pi}{2}) ，则知(T=pi)。由(T=cfrac{2pi}{omega})可知，(omega=2)。

又因为(cfrac{5pi}{12} imes 2+phi=2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，则(phi=2kpi-cfrac{pi}{3}(kin Z))

由(-cfrac{pi}{2}<phi<cfrac{pi}{2})可得，(k=0)时，(phi=-cfrac{pi}{3})满足题意，

故(omega，phi)的值分别是(omega=2)，(phi=-cfrac{pi}{3})，选(A)。

法2：由题目可知，参数(omega)和(phi)满足方程组(left{egin{array}{l}{cfrac{5pi}{12} imes omega+phi=cfrac{pi}{2}}\{cfrac{11pi}{12} imes omega+phi=cfrac{3pi}{2}}end{array} ight.)

解得(omega=2)，(phi=-cfrac{pi}{3})；选(A)。

反思：求参数(phi)还有一个方法：五点法，注意到点((cfrac{5pi}{12}，2))是函数图像的最高点，类比着模板函数(y=sinx)的最高点坐标((cfrac{pi}{2}，1)) 故有(cfrac{5pi}{12} imes 2+phi=cfrac{pi}{2})。则(phi=cfrac{pi}{2}-cfrac{5pi}{6}=-cfrac{pi}{3} in (-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))，满足题意。

例21(三轮模拟考试理科用题)已知(f(x)=2Acos^2(omega x+phi)(A>0,omega>0,0<phi<cfrac{pi}{2}))，直线(x=cfrac{pi}{3})和点((cfrac{pi}{12},0))分别是函数(f(x))图象上相邻的一条对称轴和一个对称中心，则函数(f(x))的单调增区间为（ ）.

$A.[kpi-cfrac{2pi}{3} ，kpi-cfrac{pi}{6}](kin Z)$

$B.[kpi-cfrac{pi}{6} ，kpi+cfrac{pi}{3}](kin Z)$

$C.[kpi-cfrac{5pi}{12} ，kpi+cfrac{pi}{12}](kin Z)$

$D.[kpi+cfrac{pi}{12} ，kpi+cfrac{7pi}{12}](kin Z)$

分析：这类题目一般需要先将(f(x))转化为正弦型或者余弦型，再利用给定的条件分别求(omega)和(phi)，由

(f(x)=2Acos^2(omega x+phi)=A[cos2(omega x+phi)+1]-A=Acos(2omega x+2phi))，

故其周期为(T=cfrac{2pi}{2omega}=cfrac{pi}{omega})，

又由题目可知(cfrac{T}{4}=cfrac{pi}{3}-cfrac{pi}{12}=cfrac{pi}{4})，则(T=pi=cfrac{pi}{omega})，

故(omega=1)，则函数简化为(f(x)=Acos(2x+2phi))，再利用直线(x=cfrac{pi}{3})是函数(f(x))图象上的一条对称轴，

故(2 imes cfrac{pi}{3}+2phi=kpi,(kin Z)),解得(phi=cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{3})，

令(k=1)，则(phi=cfrac{pi}{6}in (0,cfrac{pi}{2}))，满足题意，故(f(x)=Acos(2x+2phi)=Acos(2x+cfrac{pi}{3})).

令(2kpi-pileq 2x+cfrac{pi}{3}leq 2kpi(kin Z))，解得(kpi-cfrac{2pi}{3}leq x leq kpi-cfrac{pi}{6})，即单调递增区间为(A．[kpi-cfrac{2pi}{3} ，kpi-cfrac{pi}{6}](kin Z));

例3【2019宝鸡质检理科第9题文科第10题】函数(f(x)=sin(omega x+phi)+sqrt{3}cos(omega x+phi)(omega>0))的图像过点((1，2))，若(f(x))相邻的两个零点(x_1)，(x_2)，满足(|x_1-x_2|=6)，则(f(x))的单调增区间为【】

$A.[-2+12k，4+12k](kin Z)$

$B.[-5+12k，1+12k](kin Z)$

$C.[1+12k，7+12k](kin Z)$

$D.[-2+6k，1+6k](kin Z)$

分析：本题目综合考查了三角函数的解析式的求解和三角函数单调区间的求解；在求解三角函数解析式时，又同时考查了整体思想；

(f(x)=sin(omega x+phi)+sqrt{3}cos(omega x+phi)=2sin(omega x+phi+cfrac{pi}{3}))

由于函数图像过点((1，2))，将其代入，则有(2sin(omega imes 1+phi+cfrac{pi}{3})=2)，

即(omega imes 1+phi+cfrac{pi}{3}=2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))①，

又由于(f(x))相邻的两个零点(x_1)，(x_2)，满足(|x_1-x_2|=6)，[此处快速做草图是个难点]

则可知(cfrac{T}{2}=6)，则(T=12)，故(omega=cfrac{2pi}{T}=cfrac{pi}{6})，

代入①式，得到(phi=2kpi(kin Z))，[此处对(phi)的处理是个难点，由于此处只强调(phi)的存在性，故从简原则，令(k=0)]

故得到(phi=0)，即所求解析式为(f(x)=2sin(cfrac{pi}{6}x+cfrac{pi}{3}))，

接下来，题目转化为：给定三角函数的解析式，求其单调增区间；

令(2kpi-cfrac{pi}{2}leqslant cfrac{pi}{6}x+cfrac{pi}{3}leqslant 2kpi-cfrac{pi}{2}(kin Z))，

用常规方法求解，得到(-5+12kleqslant xleqslant 1+12k(kin Z))，故选(B)。

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1. 【2019陕西重点中学模拟】已知函数(f(x)=Asin(omega x+phi)(A>0，|phi|<cfrac{pi}{2}，omega>0))的图像的一部分如图所示，求其解析式；
   
   分析：容易知道(A=2)，此时需要先求解(phi)，将点((0，1))代入，(2sin(omega imes 0+phi)=1)，
   即(sinphi=cfrac{1}{2})，从而(phi=cfrac{pi}{6})，满足(|phi|<cfrac{pi}{2})，
   又由于点((cfrac{11pi}{12}，0))对应五点法中的第五个点，
   故(cfrac{11pi}{12}omega +cfrac{pi}{6}=2pi)，解得(omega=2)，
   故所求解析式为(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6}))； ↩︎